Resolva as equações
\sqrt{2 x+3}=x-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \sqrt{2x+3}=x-6. O conteúdo envolve equações com radical. Para isso, vamos primeiro determinar o domínio de existência do radical e em seguida isolar e elevar ambos os lados ao quadrado.

Passo 2

Impondo o domínio de existência, o radicando deve satisfazer
2x + 3 \ge 0
ou seja
x \ge -\tfrac{3}{2}.
Além disso, como \sqrt{2x+3}\ge0, o lado direito precisa ser não negativo:
x - 6 \ge 0
logo x \ge 6. Portanto, a solução só pode ocorrer para x\ge6.

Passo 3

Dentro desse domínio, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
(\sqrt{2x+3})^2 = (x - 6)^2
resultando em
2x + 3 = x^2 - 12x + 36.

Passo 4

Reorganizando em forma de equação quadrática:
x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 14x + 33 = 0.
As raízes são
x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4\cdot1\cdot33}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 132}}{2} = \frac{14 \pm 8}{2},
isto é, x=11 ou x=3.

Passo 5

Verificamos quais raízes pertencem ao domínio x\ge6. A raiz x=3 não satisfaz x\ge6, mas x=11 satisfaz. Além disso, conferimos na equação original:
\sqrt{2\cdot11+3}=\sqrt{25}=5, \quad 11-6=5,
portanto x=11 é válida.

Resposta

11

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