\text { 4. } \frac{1}{2 x-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{1}{2x-1} \;-\;\frac{1}{2x+1} \;=\;\frac{1}{4}
Esse tipo de problema envolve combinar frações, simplificar e depois resolver uma equação polinomial.

Passo 2

Primeiro vamos juntar as duas frações à esquerda sobre um denominador comum (2x-1)(2x+1). Temos
\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1} = \frac{(2x+1) - (2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{2x+1-2x+1}{4x^2-1} = \frac{2}{4x^2-1}.
Logo a equação vira
\frac{2}{4x^2-1} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Agora multiplicamos em cruz para eliminar as frações:
2 \cdot 4 = 1 \cdot (4x^2 - 1) \quad\Longrightarrow\quad 8 = 4x^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{3}{2}.

Passo 4

É preciso conferir se alguma solução torna o denominador zero. Os pontos proibidos são
2x-1=0\;\Rightarrow\;x=\frac12, \quad 2x+1=0\;\Rightarrow\;x=-\frac12.
Como \pm\frac32 são diferentes de \frac12 e -\frac12, ambas são válidas.

Resposta

x = \frac{3}{2} \quad\text{ou}\quad x = -\frac{3}{2}.

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