Resolva as equações homogêneas:
x d x+(y-2 x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
x,dx + (y - 2x),dy = 0
e pede a solução geral. Como os coeficientes de dx e dy são funções de grau 1 em x,y, trata-se de uma equação homogênea. Vamos usar a substituição y = u,x.

Passo 2

Reescrevendo em termos de tfracdydx, temos
x + (y - 2x),dydx = 0 Longrightarrow dydx = -xy - 2x

Passo 3

Fazendo y = u,x implica
dydx = u + x,dudx
Substituindo em dydx = -xy - 2x
u + x,dudx = -xu,x - 2x = -1u - 2
Isolando x,dudx:
x,dudx = -1u - 2 - u = -(u - 1)^2u - 2

Passo 4

Separamos variáveis:
u - 2(u - 1)^2,du = -dxx
Integramos cada lado:
integralu - 2(u - 1)^2,du = integrall(1u - 1 - 1(u - 1)^2r),du = ln|u - 1| + 1u - 1,
integral -dxx = -ln|x|

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante C:
ln|u - 1| + 1u - 1 = -ln|x| + C
Voltando a u = tfracyx temos
u - 1 = y - xx, 1u - 1 = xy - x, ln|u - 1| = ln|y - x| - ln|x|
Substituindo e cancelando -ln|x| em ambos os lados resulta
ln|y - x| + xy - x = C

Resposta

boxedlnl|y - xr| + xy - x = C

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