Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
|x+1| <=|x-2|

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver a inequação envolvendo valor absoluto lvert x+1rvert <= lvert x-2rvert. O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto, e vamos usar a definição de lvert yrvert por partes, dividindo o domínio em intervalos determinados pelos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal (aqui em x=-1 e em x=2).

Passo 2

Primeiro intervalo: x< -1. Nesse caso temos x+1<0 e x-2<0, então
lvert x+1rvert = -(x+1),
lvert x-2rvert = -(x-2)
Substituindo na inequação:
-(x+1) <= -(x-2)
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a desigualdade), vem
x+1 >= x-2
que é equivalente a 1>= -2, sempre verdadeira. Logo todo x< -1 satisfaz a inequação.

Passo 3

Segundo intervalo: -1 <= x < 2. Aqui x+1>=0 e x-2<0, então
lvert x+1rvert = x+1,
lvert x-2rvert = -(x-2)
A inequação fica
x+1 <= -(x-2) Longrightarrow x+1 <= -x+2
Reagrupando termos:
2x <= 1 Longrightarrow x <= tfrac12
Mas estamos em -1 <= x < 2, então a solução neste caso é o intervalo [-1,,1/2].

Passo 4

Terceiro intervalo: x>= 2. Nessas condições x+1>=0 e x-2>=0, portanto
lvert x+1rvert = x+1,
lvert x-2rvert = x-2
Substituindo na inequação:
x+1 <= x-2
que leva a 1<= -2, impossível. Logo não há solução para x>=2.

Passo 5

Juntando as soluções dos três intervalos, temos: ( -infty, -1 )cup[-1,,1/2] = ( -infty,,1/2 ].

Resposta

(-\infty,,1/2]

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