Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
8x<x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
8x<x-2
ou seja, encontrar todos os xinR (exceto onde a expressão não está definida) que satisfazem essa desigualdade. Vamos usar o método de estudo de casos, analisando o sinal de x ao multiplicar ambos os lados por x.

Passo 2

Primeiro notamos que a expressão não está definida em x=0. Logo o domínio é
xneq 0
Teremos, então, dois casos: x>0 e x<0.

Passo 3

Caso x>0: ao multiplicar a inequação por x (positivo), o sentido da desigualdade se mantém. Obtemos
8 < x,(x-2)
que é
x^2 -2x -8 >0
Para resolver x^2 -2x -8>0, calculamos as raízes da equação associada:
x^2 -2x -8=0 Longrightarrow x=2pmraiz4+322=2pm62in-2,4
Como um polinômio de grau 2 fica positivo fora das raízes, temos
x< -2ou x>4
Mas estamos no caso x>0, então a solução deste caso é
x>4

Passo 4

Caso x<0: ao multiplicar por x (negativo), o sentido da desigualdade se inverte. Ficamos com
8 > x,(x-2)
que é
x^2 -2x -8 <0
Usamos as mesmas raízes -2 e 4; um quadrático fica negativo entre as raízes, isto é
-2 < x <4
Mas aqui precisamos de x<0, então a solução deste caso é
-2 < x <0

Passo 5

Juntando os dois casos e lembrando de excluir os pontos onde a inequação falha ( x=-2,0,4 não satisfazem ou não pertencem ao domínio), obtemos o conjunto solução
(-2,0),cup,(4,infty)

Resposta

(-2,0),cup,(4,infty)

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