Seja C uma curva com parametrização (2 sen t,-2 cos t, 4 t+2), t in R
a) Determine as equações paramétricas para a reta tangente á curva C no ponto P0= (2,0,2 pi+2)

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar a reta tangente à curva
Ccolon r(t) = (2sin t,,-2cos t,,4t+2)
no ponto
,P0=(2,0,2pi+2).
Isso envolve dois conceitos principais de cálculo de curvas:
  1. Descobrir para que valor t0 a curva passa em P0.
  2. Calcular a derivada vetorial r'(t), que é o vetor tangente, e usar esse vetor como direção da reta.

Passo 2

Primeiro a gente resolve
r(t0) = (2sin t0,,-2cos t0,,4t0+2) ;=;(2,0,2pi+2)
Isso dá o sistema
2sin t0 = 2 ;Longrightarrow; sin t0 = 1, -2cos t0 = 0 ;Longrightarrow; cos t0 = 0, 4t0 + 2 = 2pi + 2 ;Longrightarrow; 4t0 = 2pi ;Longrightarrow; t0 = tfracpi2
Repara que sin t0=1 só rola em t0 = pi2 + 2pi k, e cos t0=0 em t0 = pi2 + pi k. A interseção dessas soluções é t0=tfracpi2 (que também satisfaz a terceira equação).

Passo 3

Agora a parte do vetor tangente:
Se r(t)=(x(t),y(t),z(t)), a derivada é
r'(t) = l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r)
Ela aponta na direção em que a curva anda — é nosso vetor diretor da reta tangente. No caso:
r'(t) = l(2cos t,;2sin t,;4r)
Avalia em t0=tfracpi2:
r'!l(tfracpi2r) = l(2costfracpi2,;2sintfracpi2,;4r) = (0,,2,,4)

Passo 4

Já temos o ponto P0=(2,0,2pi+2) e o vetor diretor v=(0,2,4). A reta tangente pode ser escrita em forma vetorial como
ell(u) ;=; P0 + u,v ;=;(2,0,2pi+2) ;+;u,(0,2,4)
Separando em coordenadas, as equações paramétricas são
x(u) = 2 + 0cdot u = 2, y(u) = 0 + 2cdot u = 2u, z(u) = (2pi+2) + 4cdot u = 2pi + 2 + 4u

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva em P0 são
boxedx = 2, y = 2u, z = 2pi + 2 + 4u

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