Resolva as equações e inequações modulares:
|x-4|=|3 x-2|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação modular lvert x-4rvert = lvert 3x-2rvert.
O conteúdo usado será propriedades de valor absoluto e resolução de equação quadrática, aplicando que
lvert Arvert = lvert Brvert implica A^2 = B^2.

Passo 2

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
(x - 4)^2 = (3x - 2)^2

Passo 3

Expandimos e trazemos todos os termos para um lado:
x^2 - 8x + 16 = 9x^2 - 12x + 4
0 = 9x^2 -12x + 4 - x^2 + 8x -16
0 = 8x^2 - 4x - 12

Passo 4

Dividimos por 4 e obtemos a equação quadrática
2x^2 - x - 3 = 0
Aplicando a fórmula de resolução x = -b pm raizb^2 - 4ac2a com a=2, b=-1, c=-3:
x = 1 pm raiz1 + 244 = 1 pm 54,
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x = -1 ou x = 32

Passo 5

Verificamos as soluções no original:
para x=-1 temos lvert -1-4rvert=5 e lvert -3-2rvert=5;
para x=tfrac32 temos lvert tfrac32-4rvert=tfrac52 e lvert tfrac92-2rvert=tfrac52.
Ambos satisfazem a equação inicial.

Resposta

As soluções são
x = -1 ou x = 32

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