Resolva as equações e inequações que se seguem:
\frac{3 x}{2}-1 \geq 2(x-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a desigualdade \dfrac{3x}{2}-1 \geq 2(x-1) e pede que determine todos os valores de x (números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão à esquerda é \dfrac{3x}{2}-1.
  • A expressão à direita é 2(x-1).
  • Quer-se o conjunto de x que tornam a relação verdadeira (inclui igualdade, pois é \geq).

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão do lado direito usando a propriedade distributiva: multiplicar 2 por cada termo dentro do parênteses. A propriedade distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Aplicando:
2(x-1)=2x-2.

Passo 3

Substituo isso na desigualdade para ficar com uma forma mais explícita:
\frac{3x}{2}-1 \geq 2x-2.

Passo 4

Agora quero agrupar os termos com x de um lado e os constantes do outro. Posso subtrair 2x de ambos os lados (somar/subtrair a mesma quantidade em ambos os lados preserva a desigualdade). Fazendo isso:
\frac{3x}{2}-2x-1 \geq -2.
Explico a passagem: foi realizada a operação (\frac{3x}{2}-1)-2x \geq (2x-2)-2x.

Passo 5

Simplifico o termo com x. Para somar \frac{3x}{2} e -2x é útil colocar -2x com denominador 2:
-2x = -\frac{4x}{2}.
Então
\frac{3x}{2} - 2x = \frac{3x}{2} - \frac{4x}{2} = -\frac{x}{2}.
Substituindo na desigualdade obtemos:
-\frac{x}{2} - 1 \geq -2.

Passo 6

Agora isolo o termo com x. Adiciono 1 aos dois lados (adicionar/subtrair mantém a desigualdade):
-\frac{x}{2} \geq -1.

Passo 7

Para ficar com x sozinho, multiplico ambos os lados por -2. Atenção: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Esta é uma regra importante: se a \ge b e k<0, então ka \le kb. Aplicando com k=-2:
\left(-\frac{x}{2}\right)\cdot(-2) \le (-1)\cdot(-2).
Calculando os produtos:
x \le 2.

Passo 8

Faço uma checagem rápida com alguns valores para garantir que faz sentido:
  • Se x=2: \dfrac{3\cdot2}{2}-1=3-1=2 e 2(2-1)=2, então 2\ge2 é verdadeiro (igualdade incluída).
  • Se x=3: esquerda \dfrac{9}{2}-1=3{,}5, direita 2(2)=4, 3{,}5\ge4 é falso — logo x=3 não serve.
  • Se x=0: esquerda -1, direita -2, -1\ge-2 é verdadeiro — x=0 serve.
    Esses testes confirmam que a solução x\le2 está consistente.

Resposta

x \leq 2

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