Resolva as equações e inequações que se seguem:
Passo 1
O enunciado nos dá a desigualdade
e pede que determine todos os valores de
(números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
. - Quer-se o conjunto de
que tornam a relação verdadeira (inclui igualdade, pois é ).
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão do lado direito usando a propriedade distributiva: multiplicar
por cada termo dentro do parênteses. A propriedade distributiva diz que
. Aplicando:
Passo 3
Substituo isso na desigualdade para ficar com uma forma mais explícita:
Passo 4
Agora quero agrupar os termos com
de um lado e os constantes do outro. Posso subtrair
de ambos os lados (somar/subtrair a mesma quantidade em ambos os lados preserva a desigualdade). Fazendo isso:
Explico a passagem: foi realizada a operação
.
Passo 5
Simplifico o termo com
. Para somar
e
é útil colocar
com denominador
:
Então
Substituindo na desigualdade obtemos:
Passo 6
Agora isolo o termo com
. Adiciono
aos dois lados (adicionar/subtrair mantém a desigualdade):
Passo 7
Para ficar com
sozinho, multiplico ambos os lados por
. Atenção: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Esta é uma regra importante: se
e
, então
. Aplicando com
:
Calculando os produtos:
Passo 8
Faço uma checagem rápida com alguns valores para garantir que faz sentido:
- Se
: e , então é verdadeiro (igualdade incluída). - Se
: esquerda , direita , é falso — logo não serve. - Se
: esquerda , direita , é verdadeiro — serve.
Esses testes confirmam que a soluçãoestá consistente.