Resolva as equaçōes irracionaio.
raizx+9-raizx=raizx-15

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a equação irracional
raizx+9 ;-;raizx ;=;raizx-15
Conteúdo da matéria: equações com radicais (irracionais).
O que vamos precisar:
  1. Determinar o domínio onde todos os radicais estão definidos.
  2. Isolar um radical e elevar ao quadrado para eliminar raiz.
  3. Repetir (quando aparecer outro radical) e acabar gerando uma equação polinomial.
  4. Verificar (substituir) as soluções para checar se não introduzimos falsos (raízes extranhas).

Passo 2

Determinar o domínio:
  • Para raizx+9 precisaríamos x+9>=0implies x>=-9.
  • Para raizx é x>=0.
  • Para raizx-15 é x-15>=0implies x>=15.
    Juntando tudo, o domínio é
x>=15

Passo 3

Isolar um radical (vou isolar raizx+9):
raizx+9 = raizx + raizx-15
Agora elevamos ao quadrado dos dois lados (teoria: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2):
(raizx+9)^2 = l(raizx + raizx-15r)^2 Longrightarrow x+9 = x + (x-15) + 2raizx,raizx-15
Simplificando o lado direito:
x+9 = 2x - 15 + 2raizx(x-15) Longrightarrow x + 9 -2x +15 = 2raizx(x-15)
24 - x = 2raizx(x-15)

Passo 4

Agora temos um único radical. Para eliminá-lo, elevamos ao quadrado de novo (lembrando que isso pode gerar soluções extranhas, por isso depois a gente checa):
(24 - x)^2 = l(2raizx(x-15)r)^2 Longrightarrow (24 - x)^2 = 4,x(x-15)
Calculemos cada lado:
(24 - x)^2 = x^2 - 48x + 576, 4,x(x-15) = 4x^2 - 60x
Igualando e reunindo termos:
x^2 - 48x + 576 = 4x^2 - 60x Longrightarrow 0 = 4x^2 - 60x - x^2 + 48x - 576
0 = 3x^2 -12x -576 Longrightarrow x^2 -4x -192 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau ( a=1,b=-4,c=-192):
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot(-192) = 16 + 768 = 784, raizDe<a=28
Logo
x = 4 pm 282 ;Longrightarrow; x1 = 322 = 16, x2 = -242 = -12

Passo 5

Verificação das soluções no domínio e na equação original:
  • x2 = -12 está fora do domínio x>=15, então descartamos.
  • x1 = 16 está no domínio. Substituindo na original:
    raiz16+9-raiz16 = 5 - 4 = 1 e raiz16-15 = 1. Bate direitinho.

Resposta

A única solução da equação é
boxedx = 16

Exercícios relacionados