Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
y^prime+2 x y=x ; y(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' + 2x,y = x,
com condição inicial y(0) = -2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
identificando
P(x) = 2x, Q(x) = x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = x,e^x^2
O lado esquerdo é a derivada de e^x^2y, isto é,
ddxl(e^x^2yr) = x,e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
e^x^2y = integral x,e^x^2,dx = 12,e^x^2 + C
Logo, a solução geral é
y(x) = 12 + C,e^-x^2

Passo 6

Usamos a condição y(0) = -2: em x=0 vale
y(0) = 12 + C = -2 Longrightarrow C = -52

Resposta

y(x) = 12 - 52,e^-x^2

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