Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}t y^{\prime}+2 y=t^{2}-t+1 \\\ y(1)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t\,y'(t) + 2\,y(t) = t^{2} - t + 1, \quad y(1)=2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos colocar na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (supondo t\neq0), obtemos a forma padrão
y' + \frac{2}{t}\,y = t - 1 + \frac{1}{t}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) satisfaz
\mu(t)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr)=\exp(2\ln t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por t^{2} temos
t^{2}y' + 2t\,y = t^{2}\Bigl(t - 1 + \frac{1}{t}\Bigr) \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y\bigr) = t^{3} - t^{2} + t.
Integrando em t:
t^{2}y = \int\bigl(t^{3} - t^{2} + t\bigr)\,dt = \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{2}}{2} + C.

Passo 5

Isolando y vem
y(t) = \frac{t^{2}}{4} - \frac{t}{3} + \frac{1}{2} + C\,t^{-2}.
Usando a condição y(1)=2:
2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + C = \frac{5}{12} + C \;\Longrightarrow\; C = 2 - \frac{5}{12} = \frac{19}{12}.

Resposta

y(t) = \frac{t^{2}}{4} - \frac{t}{3} + \frac{1}{2} + \frac{19}{12}\,t^{-2}.

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