Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}-2 x y=3 y^{4} \\\ y(1)=1 / 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de valor inicial
x^{2}\,\frac{dy}{dx}-2x\,y=3y^{4},
com condição y(1)=\tfrac12. Esse tipo de equação, ao dividir por x^{2}, fica na forma de Bernoulli:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=\frac{3}{x^{2}}\,y^{4}.
Identificamos P(x)=-\tfrac{2}{x}, Q(x)=\tfrac{3}{x^{2}} e expoente n=4.

Passo 2

Para resolver uma Bernoulli, usamos a substituição
z = y^{1-n} = y^{-3}.
Isso transforma a equação não linear em linear para z(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de z:
\frac{dz}{dx} =-3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Como \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2}{x}y+\frac{3}{x^{2}}y^{4}, substituímos:
\frac{dz}{dx} =-3\,y^{-4}\Bigl(\frac{2}{x}y+\frac{3}{x^{2}}y^{4}\Bigr) =-\frac{6}{x}y^{-3}-\frac{9}{x^{2}} =-\frac{6}{x}z-\frac{9}{x^{2}}.
Logo obtemos a EDO linear
\frac{dz}{dx}+\frac{6}{x}z=-\frac{9}{x^{2}}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{6}{x}dx\Bigr)=x^{6}.
Multiplicando a EDO por x^{6} vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}z\bigr)=-9x^{4}.
Integrando ambos os lados:
x^{6}z=\int -9x^{4}dx=-\frac{9}{5}x^{5}+C.

Passo 5

Voltando a z e impondo y(1)=\tfrac12\Rightarrow z(1)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{-3}=8, temos
z=\frac{-\frac{9}{5}x^{5}+C}{x^{6}}, \quad 8=\frac{-\frac{9}{5}\cdot1^{5}+C}{1^{6}} \;\Longrightarrow\; C=8+\frac{9}{5}=\frac{49}{5}.
Portanto
y^{-3}=z=\frac{-\tfrac{9}{5}x^{5}+\tfrac{49}{5}}{x^{6}} =\frac{49-9x^{5}}{5x^{6}}.

Passo 6

Isolando y,
y^{3}=\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}},
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y(x) =\Bigl(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

\boxed{y(x)=\Bigl(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\Bigr)^{\!1/3}.}

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