Resolva as equações lineares
d yd x+3 y=27 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + 3y = 27x^2
O método que vamos usar é o do fator integrante, pois a equação está na forma
y' + p(x),y = q(x),
com p(x)=3 e q(x)=27x^2.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 3,dx = e^3x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^3x, obtendo
e^3xdydx +3e^3xy =27x^2e^3x
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^3x, logo
ddxl(y,e^3xr) = 27x^2e^3x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^3x = integral 27x^2e^3x,dx + C
Para integral 27x^2e^3x,dx usamos integração por partes duas vezes e achamos
integral 27x^2e^3x,dx = e^3x(9x^2-6x+2) + C1
Assim
y,e^3x = e^3x(9x^2-6x+2) + C,
onde C é a constante geral de integração.

Passo 5

Isolando y, dividimos ambos os lados por e^3x:
y(x) = 9x^2 - 6x + 2 + C,e^-3x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = 9x^2 - 6x + 2 + C,e^-3x,
onde C é uma constante arbitrária.

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