O valor médio de uma função contínua f(x, y) em uma região R do plano xy é definido como
fm=1A(R) integral duplaR f(x, y) d A
onde A(R) é a área da região R (comparar com a definição anterior ao Exercício 35 da Seção 14.1). Use essa definição nestes exercícios.
Calcule o valor médio de f(x, y)=x^2-x y na região compreendida por y=x e y=3 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=x^2 - x,y na região R limitada pelas curvas
y = x e y = 3x - x^2
O conteúdo usado é o valor médio de uma função em duas variáveis,
fm = 1A(R) integral duplaR f(x,y),dA,
onde A(R) é a área de R.

Passo 2

Primeiro determinamos os limites de R. As curvas se intersectam quando
x = 3x - x^2 ;Longrightarrow; x^2 - 2x = 0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=2
Para 0<= x<=2 temos 3x - x^2 >= x, logo
R = l(x,y)mid 0<= x<=2,;x<= y<=3x - x^2r
A área de R é
A(R) = integral0^2l[(3x - x^2)-xr],dx = integral0^2(2x - x^2),dx = l[x^2 - tfracx^33r]0^2 = 4 - tfrac83 = tfrac43

Passo 3

Agora calculamos o integral dupla
integral duplaR(x^2 - x,y),dA = integral0^2!integraly=x^3x - x^2l(x^2 - x,yr),dy,dx
A integral interna em y é
integralx^3x - x^2(x^2 - x,y),dy = l[x^2y - tfracx2y^2r]y=x^y=3x - x^2 = -2x^3 + 2x^4 - tfrac12x^5
Integrando em x de 0 a 2:
integral0^2l(-2x^3 + 2x^4 - tfrac12x^5r),dx = l[-tfrac12x^4 + tfrac25x^5 - tfrac112x^6r]0^2 = -tfrac815

Passo 4

Finalmente, o valor médio é
fm = 1A(R) integral duplaRf(x,y),dA = -tfrac815tfrac43 = -tfrac25

Resposta

O valor médio de f na região dada é -tfrac25.

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