Resolva as equações:
\log _{2}\left(5 x^{2}-14 x+1\right)=\log _{2}\left(4 x^{2}-4 x-20\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{2}\bigl(5x^{2}-14x+1\bigr)=\log_{2}\bigl(4x^{2}-4x-20\bigr).
O conteúdo aqui é igualdade de logaritmos de mesma base. Para resolver, precisamos garantir o domínio (argumentos positivos) e então igualar os argumentos.

Passo 2

Impondo as condições de existência dos logaritmos, temos
5x^{2}-14x+1>0 \quad\text{e}\quad 4x^{2}-4x-20>0.
Anotamos essas desigualdades e, depois de encontrar as soluções candidatas, voltaremos para checar se elas satisfazem ambas.

Passo 3

Como as bases dos logaritmos são iguais e válidas, podemos igualar diretamente os argumentos:
5x^{2}-14x+1 = 4x^{2}-4x-20.
Rearranjando, obtemos
5x^{2}-14x+1 - (4x^{2}-4x-20)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-10x+21=0.
Resolvendo a quadrática, fatoramos
x^{2}-10x+21=(x-3)(x-7)=0
e achamos as raízes
x=3 \quad\text{ou}\quad x=7.

Passo 4

Agora, conferimos o domínio para cada solução:
Para x=3:
5\cdot3^{2}-14\cdot3+1=45-42+1=4>0, \quad 4\cdot3^{2}-4\cdot3-20=36-12-20=4>0.
Para x=7:
5\cdot7^{2}-14\cdot7+1=245-98+1=148>0, \quad 4\cdot7^{2}-4\cdot7-20=196-28-20=148>0.
Ambas satisfazem as condições de domínio.

Resposta

As soluções da equação são
x=3 \quad\text{e}\quad x=7.

Exercícios relacionados