Resolva as equações
log 3(2 x-1)+log 3(3 x+1)=1+3 log 3 5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log3(2x-1) + log3(3x+1) = 1 + 3,log35
que é um problema de equações logarítmicas. Vamos precisar das propriedades de soma de logaritmos, da conversão de constante em log e de resolução de equação do segundo grau.

Passo 2

Antes de manipular a equação, determinamos o domínio de definição, exigindo que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
2x - 1 > 0 e 3x + 1 > 0
Da primeira vem x > tfrac12 e da segunda x > -tfrac13. Juntando, o domínio é
x > tfrac12

Passo 3

Usamos a propriedade de soma de logaritmos
log3(2x-1) + log3(3x+1) = log3l((2x-1)(3x+1)r)

Passo 4

Reescrevemos o lado direito usando
1 = log33 e 3,log35 = log3l(5^3r)=log3125,
então
1 + 3,log35 = log33 + log3125 = log3(3cdot125)=log3375
Logo a equação fica
log3l((2x-1)(3x+1)r) = log3375

Passo 5

Como log3A = log3B implica A = B, tiramos o logaritmo e obtemos
(2x-1)(3x+1) = 375
que se expande em
6x^2 - x - 1 = 375 Longrightarrow 6x^2 - x - 376 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4cdot6cdot(-376) = 1 + 9024 = 9025 = 95^2
As raízes são
x = 1 pm 952cdot6 = 1 pm 9512,
isto é
x = 9612 = 8 ou x = -9412 = -tfrac476

Passo 6

Verificamos no domínio x > tfrac12:
8 > tfrac12 válido, -tfrac476 < tfrac12 inválido áá
Portanto só x=8 permanece.

Resposta

x = 8

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