Resolva as equações logarítmicas:
\log _{2} x+4 . \log _{x} 8=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{2} x + 4\cdot \log_{x} 8 = 8.
Informações relevantes que o enunciado dá e que precisamos considerar:
\text{(i) }x>0\quad\text{(porque logaritmo exige argumento positivo),}
\text{(ii) }x\neq 1\quad\text{(porque }\log_{a}b\text{ não está definido para }a=1\text{).}ãá
Esses são os requisitos de domínio: x\in(0,\infty)\setminus\{1\}.

Passo 2

Vamos relembrar algumas propriedades de logaritmos que vamos usar (explicando cada uma com calma):
  • Mudança de base: para bases positivas distintas de 1 e argumentos positivos,
\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}.
Aqui a,b,c são números positivos diferentes de 1; \log_{c} b é o logaritmo de b na base c.
  • Potência dentro do logaritmo: \log_{a} (b^{k}) = k\cdot \log_{a} b. Isso vem da definição do logaritmo como inversa da exponenciação.
  • Relação recíproca de bases: a partir da mudança de base com c=b obtemos
\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}.
Ou seja, trocar a base pelo argumento inverte o logaritmo.
Essas fórmulas permitem transformar logaritmos numa forma mais conveniente.

Passo 3

Observação útil: 8 é potência de 2, pois 8=2^{3}. Aproveitamos isso para simplificar \log_{x}8:
\log_{x}8=\log_{x}(2^{3})=3\cdot \log_{x}2.
Pela relação recíproca temos
\log_{x}2=\frac{1}{\log_{2}x}.
Substituindo nessa expressão:
\log_{x}8=3\cdot\frac{1}{\log_{2}x}=\frac{3}{\log_{2}x}.

Passo 4

Substituímos esse resultado na equação original. A equação
\log_{2}x + 4\cdot \log_{x}8 = 8
fica
\log_{2}x + 4\cdot \frac{3}{\log_{2}x} = 8.
Para simplificar, fazemos a substituição
y=\log_{2}x.
Aqui é importante notar que y pode ser qualquer número real exceto 0, porque y=0 corresponde a x=1 (proibido). Assim y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 5

Com y=\log_{2}x a equação transforma-se em
y + \frac{12}{y} = 8.
Multiplicamos ambos os lados por y (lembre que y\neq 0, então essa operação é válida):
y^{2} + 12 = 8y.
Passando todos os termos para um lado obtemos a equação quadrática
y^{2} - 8y + 12 = 0.

Passo 6

Resolvemos a quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-8)^{2} - 4\cdot 1\cdot 12 = 64 - 48 = 16.
Como \Delta=16, \sqrt{\Delta}=4. As raízes são
y = \frac{8 \pm 4}{2}.
Portanto
y_{1} = \frac{8+4}{2} = 6,
y_{2} = \frac{8-4}{2} = 2.
Ambas as soluções são diferentes de zero, então são válidas perante o domínio de y.

Passo 7

Voltamos à variável x usando y=\log_{2}x.
Para y=6:
\log_{2}x = 6 \implies x = 2^{6} = 64.
Para y=2:
\log_{2}x = 2 \implies x = 2^{2} = 4.
Devemos verificar rapidamente na equação original (checagem rápida):
Para x=64: \log_{2}64=6 e \log_{64}8=\dfrac{\log_{2}8}{\log_{2}64}=\dfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}. Então 6+4\cdot\tfrac{1}{2}=6+2=8, ok.
Para x=4: \log_{2}4=2 e \log_{4}8=\dfrac{3}{2}. Então 2+4\cdot\dfrac{3}{2}=2+6=8, ok.

Resposta

x=64
x=4

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