Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes que o enunciado dá e que precisamos considerar:
Esses são os requisitos de domínio:
.
Passo 2
Vamos relembrar algumas propriedades de logaritmos que vamos usar (explicando cada uma com calma):
- Mudança de base: para bases positivas distintas de 1 e argumentos positivos,
Aqui
são números positivos diferentes de 1;
é o logaritmo de
na base
.
- Potência dentro do logaritmo:
. Isso vem da definição do logaritmo como inversa da exponenciação. - Relação recíproca de bases: a partir da mudança de base com
obtemos
Ou seja, trocar a base pelo argumento inverte o logaritmo.
Essas fórmulas permitem transformar logaritmos numa forma mais conveniente.
Passo 3
Observação útil:
é potência de
, pois
. Aproveitamos isso para simplificar
:
Pela relação recíproca temos
Substituindo nessa expressão:
Passo 4
Substituímos esse resultado na equação original. A equação
fica
Para simplificar, fazemos a substituição
Aqui é importante notar que
pode ser qualquer número real exceto
, porque
corresponde a
(proibido). Assim
.
Passo 5
Com
a equação transforma-se em
Multiplicamos ambos os lados por
(lembre que
, então essa operação é válida):
Passando todos os termos para um lado obtemos a equação quadrática
Passo 6
Resolvemos a quadrática. Calculamos o discriminante:
Como
,
. As raízes são
Portanto
Ambas as soluções são diferentes de zero, então são válidas perante o domínio de
.
Passo 7
Voltamos à variável
usando
.
Para :
Para
Para
:
Devemos verificar rapidamente na equação original (checagem rápida):
Para :
e
. Então
, ok.
Para :
e
. Então
, ok.
Para
Para