Resolva as equações logarítmicas:
\log _{4}(2 x+10)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação \log_{4}(2x+10)=2 e pede para encontrar o valor de x que satisfaz essa igualdade. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão dentro do logarítmo é 2x+10.
  • Para que o logaritmo esteja definido, o argumento deve ser estritamente positivo: 2x+10>0.
    Não vou resolver ainda; apenas listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.

Passo 2

Entendendo o que significa a igualdade \log_{4}(2x+10)=2. Vou explicar a definição essencial de logaritmo de modo prático:
  • Por definição, \log_{a}(b)=c se, e somente se, a^{c}=b, desde que a>0, a\neq1 e b>0.
    Aqui a=4, b=2x+10 e c=2. Isso nos permite reescrever a equação em forma exponencial, que costuma ser mais fácil de manipular.

Passo 3

Aplicando a definição do logaritmo para converter a equação em exponencial:
\log_{4}(2x+10)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 4^{2}=2x+10.
Calculo imediato: 4^{2}=16. Então a equação fica
2x+10=16.

Passo 4

Resolvendo a equação linear resultante passo a passo:
2x+10=16
Subtraio 10 dos dois lados:
2x=16-10.
Faço a subtração:
2x=6.
Divido ambos os lados por 2:
x=\frac{6}{2}=3.

Passo 5

Verificação das condições e checagem do resultado (muito importante para não levar ponto perdido na prova):
  1. Condição de existência do logaritmo: precisamos de 2x+10>0. Substituo x=3:
2\cdot 3+10=6+10=16>0,
portanto a condição está satisfeita.
2. Conferência direta na equação original:
\log_{4}(2\cdot 3+10)=\log_{4}(16).
Como 4^{2}=16, então \log_{4}(16)=2. Logo a igualdade original é satisfeita por x=3.

Passo 6

Resumo didático curto para você levar pra prova:
  • Sempre que tiver \log_{a}(\text{algo})=c, converta para a^{c}=\text{algo}.
  • Verifique a condição \text{algo}>0 (argumento do log).
  • Resolva a equação resultante (aqui linear).
    Exemplo extra rápido para fixar: \log_{2}(8)=? vira 2^{?}=8. Como 2^{3}=8, então \log_{2}(8)=3.

Resposta

x=3

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