Passo 1
Beleza, o exercício mostra uma equação que mistura derivada e integral:
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é equações integrais e diferenciais. A ideia geral vai ser “se livrar” da integral derivando tudo, cair numa EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem com coeficientes constantes e, depois, usar as condições iniciais pra fechar o resultado.
O conteúdo aqui é equações integrais e diferenciais. A ideia geral vai ser “se livrar” da integral derivando tudo, cair numa EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem com coeficientes constantes e, depois, usar as condições iniciais pra fechar o resultado.
Passo 2
Vamos definir
então a equação fica
Para eliminar o integral, derivamos ambos os lados em relação a
. Lembra que
Derivando cada termo:
-
, -
, -
, -
.
Logo obtemos a EDO pura:
Passo 3
Agora é a clássica EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. A solução geral é soma de:
- Solução homogênea
: resolvemos a equação característica
Então
- Solução particular
: como o lado direito é constante 5, chutamos . Substituindo em dá
Portanto a solução geral conjunta é
Passo 4
Falta achar
e
usando as condições iniciais. A gente já tem
. Para pegar
, volta na equação original em
:
Por outro lado, derivando nossa solução geral:
Em
:
Resolvendo esse sistema sai
]