y^prime+2 y-3 integral0^t y(k) d k=5(1+t) forall y(0)=2

Passo 1

Beleza, o exercício mostra uma equação que mistura derivada e integral:
y' + 2y ;-; 3integral0^ty(k),dk ;=; 5(1+t),
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é equações integrais e diferenciais. A ideia geral vai ser “se livrar” da integral derivando tudo, cair numa EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem com coeficientes constantes e, depois, usar as condições iniciais pra fechar o resultado.

Passo 2

Vamos definir
I(t)=integral0^ty(k),dk,
então a equação fica
y' + 2y - 3,I(t) = 5(1+t)
Para eliminar o integral, derivamos ambos os lados em relação a t. Lembra que
ddtl(integral0^ty(k),dkr) = y(t)
Derivando cada termo:
  • ddt(y') = y'',
  • ddt(2y) = 2y',
  • ddtl(-3I(t)r) = -3y,
  • ddtl[5(1+t)r] = 5.
Logo obtemos a EDO pura:
y'' + 2y' - 3y = 5

Passo 3

Agora é a clássica EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. A solução geral é soma de:
  1. Solução homogênea yh: resolvemos a equação característica
r^2 + 2r - 3 = 0 Longrightarrow (r-1)(r+3)=0 ;Rightarrow; r=1,,-3
Então
yh(t)=C1e^t+C2e^-3t
  1. Solução particular yp: como o lado direito é constante 5, chutamos yp=A. Substituindo em y''+2y'-3y=5
0 + 0 - 3A = 5 Rightarrow A = -53
Portanto a solução geral conjunta é
y(t)=C1e^t+C2e^-3t-53

Passo 4

Falta achar C1 e C2 usando as condições iniciais. A gente já tem y(0)=2. Para pegar y'(0), volta na equação original em t=0:
y'(0) + 2,y(0) - 3integral0^0y = 5(1+0) ;Longrightarrow; y'(0) + 2cdot2 = 5 ;Rightarrow; y'(0)=1
Por outro lado, derivando nossa solução geral:
y'(t)=C1e^t - 3,C2e^-3t
Em t=0:
y(0)=C1 + C2 - tfrac53 = 2 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac113,[6pt] y'(0)=C1 - 3C2 = 1
Resolvendo esse sistema sai
C1=3, C2=tfrac23
]

Resposta

boxedy(t)=3e^t+tfrac23e^-3t-tfrac53

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