Resolva as equações matriciais abaixo:
\left(\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ -2 & 3\end{array}\right) \cdot X=\binom{1}{1}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se encontrar a matriz-vetor X que satisfaz a equação matricial
\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}\cdot X = \binom{1}{1}.
  • As informações dadas são:
    • A matriz A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
    • O vetor coluna b=\binom{1}{1}.
  • Objetivo: achar X tal que A X = b.]

Passo 2

Escolha do método (e por quê).
  • Para resolver A X = b podemos usar vários métodos: eliminar por escalonamento (Gauss), regra de Cramer (no caso 2×2 é simples), ou calcular A^{-1} e fazer X=A^{-1}b.
  • Aqui uso o método da inversa porque, para uma matriz 2\times2 com determinante não nulo, a inversa tem fórmula direta e dá poucos cálculos manuais — prático na prova sem calculadora.

Passo 3

Conceito e cálculo do determinante de uma matriz 2\times2.
  • Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui a=3, b=-4, c=-2, d=3. Substituindo,
\det(A)=3\cdot 3 - (-4)\cdot(-2).
  • Calcule passo a passo:
    • 3\cdot 3 = 9.
    • (-4)\cdot(-2)=8.
    • Logo \det(A)=9-8=1.
  • Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar a inversa.]

Passo 4

Fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e aplicação.
  • A fórmula para a inversa de A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} é
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando aos valores: já temos \det(A)=1, e então
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -(-4) \\[4pt] -(-2) & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
(Como \det(A)=1, não há divisão adicional.)]

Passo 5

Cálculo de X=A^{-1}b mostrando multiplicação de matriz por vetor.
  • Agora multiplica-se A^{-1} por b:
X = A^{-1}b = \begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}\cdot \binom{1}{1}.
  • Multiplicação linha a linha:
    • Primeira componente: 3\cdot 1 + 4\cdot 1 = 3+4 = 7.
    • Segunda componente: 2\cdot 1 + 3\cdot 1 = 2+3 = 5.
  • Portanto
X=\binom{7}{5}.]

Passo 6

Verificação (opcional, bom hábito em prova).
  • Verificar que A X = b:
\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}\cdot \binom{7}{5} = \binom{3\cdot 7 + (-4)\cdot 5}{-2\cdot 7 + 3\cdot 5} = \binom{21-20}{-14+15} = \binom{1}{1},
o que confirma a solução.]

Resposta

\displaystyle X=\binom{7}{5}

Exercícios relacionados