Sendo A, B e C matrizes quadradas de ordem n invertível, determine a matriz X que satisfaz a igualdade
A \cdot X \cdot B=C

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A \cdot X \cdot B = C
onde A, B e C são matrizes quadradas de ordem n e A e B são invertíveis. Queremos isolar a matriz X.

Passo 2

Como A é invertível, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade à esquerda por A^{-1}. Assim:
A^{-1}\bigl(A \cdot X \cdot B\bigr) \;=\; A^{-1}C
e pelo fato de A^{-1}A = I (matriz identidade), obtemos
I \cdot X \cdot B = A^{-1}C \quad\Longrightarrow\quad X \cdot B = A^{-1}C.

Passo 3

Agora, como B é invertível, multiplicamos ambos os lados à direita por B^{-1}:
\bigl(X \cdot B\bigr) B^{-1} = \bigl(A^{-1}C\bigr) B^{-1}
e usando B B^{-1}=I obtemos
X \cdot I = A^{-1}C\,B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}C\,B^{-1}.

Resposta

X = A^{-1}\,C\,B^{-1}.

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