Resolva as equações:
A_{n, 2}+A_{n-1,2}+A_{n-2,2}=20

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo números de arranjos (permutations)
A_{n,2} + A_{n-1,2} + A_{n-2,2} = 20.
Aqui A_{m,2} é o número de arranjos de m elementos tomados 2 a 2, dado por
A_{m,2} = \frac{m!}{(m-2)!} = m\,(m-1).

Passo 2

Substituímos A_{n,2}, A_{n-1,2} e A_{n-2,2} por suas fórmulas:
A_{n,2} = n(n-1),\quad A_{n-1,2} = (n-1)(n-2),\quad A_{n-2,2} = (n-2)(n-3).
A equação fica
n(n-1) + (n-1)(n-2) + (n-2)(n-3) = 20.

Passo 3

Expandimos cada produto:
n(n-1) = n^2 - n, \quad (n-1)(n-2)=n^2 -3n +2, \quad (n-2)(n-3)=n^2 -5n +6.
Somando:
n^2 - n + n^2 -3n +2 + n^2 -5n +6 = 20 \quad\Longrightarrow\quad 3n^2 -9n +8 = 20.

Passo 4

Passamos tudo para um lado e simplificamos:
3n^2 -9n +8 -20 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3n^2 -9n -12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad n^2 -3n -4 = 0.
Resolvendo a quadrática:
n = \frac{3 \pm \sqrt{9 +16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
logo n = 4 ou n = -1.

Passo 5

Como a definição de A_{n-2,2} exige n-2\ge2, temos n\ge4. Assim, n=-1 não é válido, restando
n = 4.

Resposta

n = 4

Exercícios relacionados