Resolva as equações polinomiais:
(a) x^3-19 x-30=0
(b) 4 x^3+40 x=22 x^2+25
(c) x^5-5 x^4-4 x^3+36 x^2+27 x-135=0
(d) -12 x^4-8 x^3+49 x^2+39 x-18=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro equações polinomiais, ou seja, encontrar todas as raízes (reais e complexas) de cada polinômio. O método principal que vamos usar é o teste de raízes racionais (divisores do termo independente sobre divisores do coeficiente líder) e depois fatoração sucessiva por divisão polinomial (ou método sintético), reduzindo o grau até obter quadráticos ou termos lineares de fácil solução.

Passo 2

Resolvendo (a) x^3-19x-30=0 1. Possíveis raízes racionais são divisores de -30: pm1,pm2,pm3,pm5,pm6,pm10,pm15,pm30.
2. Testando x=5:
5^3-19cdot5-30=125-95-30=0,
logo x=5 é raiz.
3. Dividindo por (x-5), ou seja, fatorando:
x^3-19x-30=(x-5)(x^2+5x+6)
4. Resolver x^2+5x+6=0 por fatoração:
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0,
de onde x=-2 e x=-3.

Passo 3

Resolvendo (b) 4x^3+40x=22x^2+25 1. Reescrevendo em forma padrão:
4x^3-22x^2+40x-25=0
2. Possíveis raízes racionais são pm1,5,251,2,4. Testando x=tfrac52:
4l(tfrac52r)^3-22l(tfrac52r)^2+40l(tfrac52r)-25 =62,5-137,5+100-25=0,
logo x=tfrac52 é raiz.
3. Dividindo por l(2x-5r) (equivalente a (x-tfrac52)) obtemos o quociente 2x^2-6x+5.
4. Resolver 2x^2-6x+5=0 pela fórmula de Bhaskara:
De<a =(-6)^2-4cdot2cdot5=36-40=-4,
x=6pmraiz-44=6pm2i4=3pm i2

Passo 4

Resolvendo (c) x^5-5x^4-4x^3+36x^2+27x-135=0 1. Testando x=3 no polinômio original:
3^5-5cdot3^4-4cdot3^3+36cdot3^2+27cdot3-135=243-405-108+324+81-135=0,
logo x=3 é raiz.
2. Dividindo sucessivamente por (x-3):
  • Primeiro divide em grau 5 gera grau 4;
  • Repetindo o teste em grau 4, x=3 ainda é raiz;
  • Dividindo de novo gera grau 3;
  • Testando uma terceira vez em grau 3, obtemos x=3 uma terceira vez;
  • Ao final resta o quadrático
x^2+4x+5=0
3. Esse quadrático tem
De<a =4^2-4cdot1cdot5=16-20=-4,
portanto raízes
x=-4pm2i2=-2pm i

Passo 5

Resolvendo (d) -12x^4-8x^3+49x^2+39x-18=0 1. Multiplicamos por -1 para ficar com coeficiente líder positivo:
12x^4+8x^3-49x^2-39x+18=0
2. Possíveis raízes racionais são pm1,2,3,6,9,181,2,3,4,6,12. Testando x=2:
12cdot2^4+8cdot2^3-49cdot2^2-39cdot2+18 =192+64-196-78+18=0,
logo x=2 é raiz.
3. Dividindo por (x-2) chegamos ao cúbico 12x^3+32x^2+15x-9.
4. Testando x=-tfrac32 nesse cúbico: dá zero, logo é raiz. Dividindo por (2x+3) sobra o quadrático
6x^2+7x-3=0
5. Resolver 6x^2+7x-3=0:
De<a =7^2-4cdot6cdot(-3)=49+72=121,
x=-7pm1112Longrightarrow x=412=13ou x=-1812=-32
Note que x=-tfrac32 já apareceu como raiz, ficando de multiplicidade 2.

Resposta

(a) x=5,;-2,;-3
(b) x=tfrac52,;tfrac3+i2,;tfrac3-i2
(c) x=3 (multiplicidade 3),; x=-2+i,;-2-i
(d) x=2,;x=-tfrac32 (multiplicidade 2),; x=tfrac13

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