Resolva as equações em R.
\left|2 x^{2}+3 x+3\right| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a desigualdade com valor absoluto
\lvert 2x^{2}+3x+3\rvert\le 3.
O conteúdo usado será a definição de valor absoluto:
\lvert f(x)\rvert\le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a\le f(x)\le a.

Passo 2

Aplicando essa definição a f(x)=2x^{2}+3x+3 e a=3, obtemos o sistema de duas desigualdades:
\begin{cases} 2x^{2}+3x+3\le 3,\\\\ 2x^{2}+3x+3\ge -3. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo 2x^{2}+3x+3\le 3:
2x^{2}+3x\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,(2x+3)\le 0.
Os zeros do produto são x=0 e x=-\tfrac32. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima e fica abaixo de zero entre as raízes. Logo,
2x^{2}+3x+3\le 3 \quad\Longrightarrow\quad x\in\bigl[-\tfrac32,\,0\bigr].

Passo 4

Resolvendo 2x^{2}+3x+3\ge -3:
2x^{2}+3x+6\ge 0.
O discriminante é
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot6 = 9-48 = -39 < 0,
e como o coeficiente de x^{2} é positivo, a expressão é sempre positiva em \mathbb{R}. Portanto essa desigualdade vale para todo x.

Passo 5

A solução da desigualdade original é a interseção das duas soluções:
x\in\bigl[-\tfrac32,\,0\bigr]\cap\mathbb{R} = \bigl[-\tfrac32,\,0\bigr].

Resposta

\displaystyle \bigl[-\tfrac{3}{2},0\bigr]

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