Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{c}5 x, x \leq 0 \\\\ -x, 0<x \leq 8 \\\ \sqrt{x}, x>8\end{array}\right. e g(x)=x^{3}. Calcule g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 5x, & x\leq0,\\\\ -x, & 0<x\leq8,\\\ \sqrt{x}, & x>8 \end{cases}
e a função g(x)=x^{3}. Pede-se a composição (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr). O conteúdo usado é a definição de composição de funções: basta substituir f(x) na expressão de g.

Passo 2

Pela definição de composição,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(f(x)\bigr)^{3}.
Agora aplicamos isso a cada ramo de f.

Passo 3

Para x\leq0 temos f(x)=5x. Logo
(g\circ f)(x)=\bigl(5x\bigr)^{3}=125\,x^{3}.

Passo 4

Para 0<x\leq8 temos f(x)=-x. Logo
(g\circ f)(x)=\bigl(-x\bigr)^{3}=-x^{3}.

Passo 5

Para x>8 temos f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Logo
(g\circ f)(x)=\bigl(x^{1/2}\bigr)^{3}=x^{3/2}.

Resposta

(g\circ f)(x)= \begin{cases} 125\,x^{3}, & x\leq0,\\\\ -x^{3}, & 0<x\leq8,\\\ x^{3/2}, & x>8. \end{cases}

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