Resolva as equações a seguir.
8\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-4)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
8\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-4)=0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita como um produto de fatores multiplicado por uma constante: 8, \left(x+\frac{1}{2}\right) e (x-4).
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam essa expressão igual a zero.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): propriedade do produto nulo.
  • A propriedade diz que, para quaisquer números a e b,
ab=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0 \text{ ou } b=0.
  • Se houver uma constante c multiplicando o produto e c\neq0, então
c\cdot (ab)=0 \quad\Longrightarrow\quad ab=0,
pois pode-se dividir ambos os lados por c. Aqui é importante entender que dividir ambos os lados por um número diferente de zero preserva a igualdade.

Passo 3

Aplicando o que foi dito ao nosso problema: a constante que multiplica o produto é 8. Como 8\neq0, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 8. Assim obtemos
\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-4)=0.

Passo 4

Pela propriedade do produto nulo, para que o produto seja zero basta que um dos fatores seja zero. Logo resolvemos os dois casos:
  1. Primeiro fator:
x+\frac{1}{2}=0.
Subtraindo \tfrac{1}{2} de ambos os lados:
x=-\frac{1}{2}.
  1. Segundo fator:
x-4=0.
Somando 4 a ambos os lados:
x=4.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: x+\tfrac{1}{2}=0 e então todo o produto é zero, logo satisfaz a equação.
  • Para x=4: x-4=0 e então também o produto é zero, logo satisfaz a equação.

Passo 6

Resumo e dica de prova: quando a equação está na forma de um produto igual a zero, primeiro veja se há um fator constante não nulo (como 8) que pode ser dividido fora — isso simplifica. Depois aplique diretamente a propriedade do produto nulo e resolva cada equação simples resultante. Respira fundo, faz passo a passo e confere as substituições — é suficiente pra maioria dessas questões.

Resposta

x=-\dfrac{1}{2}
x=4

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