Resolva as equações separáveis:
y^prime tan x=y , y(pi6)=-12

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial separável
y',tan x = y
com a condição inicial y(tfracpi6) = -tfrac12. O conteúdo é EDOs separáveis, e vamos precisar reescrever y' como tfracdydx e isolar y e x.

Passo 2

Reescrevendo y'=tfracdydx, temos
dydx,tan x = y
ou seja
dydx = ytan x = y,cot x

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos com y de um lado e os de x do outro:
1y,dy = cot x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral cot x,dx
o que dá
ln|y| = ln|sin x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponentiando, obtemos
|y| = e^C,|sin x|
Definindo K = pm e^C, escrevemos a solução geral como
y = K,sin x

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(tfracpi6) = -tfrac12:
Ksin!l(tfracpi6r) = -tfrac12 Longrightarrow Kcdottfrac12 = -tfrac12 Longrightarrow K = -1
Logo, a solução particular é
y = -sin x

Resposta

y = -sin x

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