Resolva as equações separáveis:
y^prime=ln x1+y^2 , y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = ln x1+y^2
com condição inicial y(1)=0. Vamos separar as variáveis y e x, integrar em cada lado e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dydx = ln x1+y^2 Longrightarrow (1+y^2),dy = ln x,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral (1+y^2),dy = integral ln x,dx
No lado esquerdo,
integral (1+y^2),dy = integral 1,dy + integral y^2,dy = y + y^33
No lado direito, usamos integral ln x,dx = xln x - x, logo
y + y^33 = xln x - x + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Em x=1 e y=0,
0 + 0^33 = 1cdotln1 - 1 + C Longrightarrow 0 = 0 - 1 + C Longrightarrow C = 1
Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

A solução da condição de valor inicial é dada implicitamente por
y + y^33 = xln x - x + 1

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