Resolva as equações.
\sqrt{x^{2}+3}+x=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x^{2}+3}+x=5.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro da raiz é x^{2}+3, que é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}, então a raiz quadrada está definida para todo número real.
  • A raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} retorna um valor não negativo. Isso vai impor uma restrição quando isolarmos a raiz.

Passo 2

Isolamos a raiz para facilitar a solução. Subtraindo x dos dois lados,
\sqrt{x^{2}+3}=5-x.
Aqui é importante notar que o lado esquerdo é \emph{sempre} não negativo, logo o lado direito também deve ser não negativo. Assim obtemos a condição
5-x\ge 0\quad\Rightarrow\quad x\le 5.

Passo 3

Agora aplicamos a técnica padrão para equações com raiz: elevamos ambos os lados ao quadrado. Atenção: ao quadrar ambas as partes pode aparecer soluções extranhas (que satisfazem a equação quadrada resultante, mas não a original). Por isso precisaremos conferir as soluções no final. Ao quadrar:
\bigl(\sqrt{x^{2}+3}\bigr)^{2}=(5-x)^{2}.

Passo 4

Simplificamos ambos os lados. A raiz ao quadrado retorna o radicando e o lado direito expandimos:
x^{2}+3 = (5-x)^{2} = x^{2}-10x+25.
Subtraindo x^{2} de ambos os lados para eliminar termos quadráticos,
3 = -10x+25.
Agora resolvemos essa equação linear para x. Subtraindo 25 de ambos os lados,
3-25 = -10x \quad\Rightarrow\quad -22 = -10x.
Dividindo por -10,
x=\dfrac{22}{10}=\dfrac{11}{5}.

Passo 5

Verificação: sempre conferir se a solução satisfaz a equação original e a condição x\le 5.
Primeiro, \dfrac{11}{5}\le 5 é verdadeira, então satisfaz a condição de sinal.
Substituindo na equação original:
x^{2}+3=\left(\dfrac{11}{5}\right)^{2}+3=\dfrac{121}{25}+\dfrac{75}{25}=\dfrac{196}{25},
então
\sqrt{x^{2}+3}=\sqrt{\dfrac{196}{25}}=\dfrac{14}{5}.
Agora somando x:
\sqrt{x^{2}+3}+x=\dfrac{14}{5}+\dfrac{11}{5}=\dfrac{25}{5}=5,
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto x=\dfrac{11}{5} é solução válida.

Passo 6

Comentário didático final e atencioso: ao resolver equações do tipo \sqrt{\text{algo}}+\text{expressão}= \text{valor}ã, o passo seguro é isolar a raiz, impor a condição de não negatividade do lado isolado, quadrar ambos os lados e depois verificar se as soluções obtidas realmente satisfazem a equação inicial (isso evita aceitar soluções extranhas introduzidas pelo quadrado). Aqui esse procedimento deu uma única solução válida.

Resposta

\dfrac{11}{5}

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