Resolva as inequações.
\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá a inequação composta \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2} e pede para “resolver as inequações” — isto é, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa condição. Informação relevante fornecida:
  • A inequação é \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2}.
  • Trata‑se de x variando entre dois números racionais.
    Nada mais é fornecido; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Entendendo o que a desigualdade composta significa. A escrita \dfrac{1}{2}<x<\dfrac{3}{2} significa, por definição, que duas condições simultâneas valem:
x>\dfrac{1}{2}
e
x<\dfrac{3}{2}.
Ou seja, x deve ser maior que \dfrac{1}{2} e, ao mesmo tempo, menor que \dfrac{3}{2}. Resolver a inequação composta é resolver essas duas inequações simples e tomar a interseção (o que satisfaz as duas).

Passo 3

Relembrando regras básicas de desigualdades (úteis em provas):
  • Se adicionamos ou subtraímos a mesma constante em ambos os lados de uma desigualdade, a desigualdade permanece com o mesmo sinal. Ex.: de a<b segue a+c<b+c.
  • Se multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número positivo, o sinal não muda; se multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, o sinal inverte. Ex.: de a<b segue ka<kb se k>0; se k<0 então ka>kb.
    Aqui não precisamos aplicar operações porque as desigualdades já estão isoladas em x.

Passo 4

Analisando cada desigualdade simples:
  • \;x>\dfrac{1}{2}: isto diz que x é qualquer número maior que \dfrac{1}{2}. Não inclui o ponto \dfrac{1}{2} porque o sinal é estrito >.
  • \;x<\dfrac{3}{2}: isto diz que x é qualquer número menor que \dfrac{3}{2}. Não inclui \dfrac{3}{2} porque o sinal é estrito <.
    A solução da composta é a interseção dessas duas condições: todos os x que estão simultaneamente à direita de \dfrac{1}{2} e à esquerda de \dfrac{3}{2}.

Passo 5

Representação da solução. Como os sinais são estritos, os extremos não pertencem à solução. Em notação de intervalos, isso corresponde ao intervalo aberto
\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right).
Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid \tfrac{1}{2}<x<\tfrac{3}{2}\}.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos (útil para prova):
  • Tome x=1. Verifica \tfrac{1}{2}<1<\tfrac{3}{2} (verdade), logo 1 pertence à solução.
  • Tome x=\tfrac{1}{2}. Falha em \tfrac{1}{2}<\tfrac{1}{2} (falso), logo não pertence.
  • Tome x=2. Falha em 2<\tfrac{3}{2} (falso), logo não pertence.
    Tudo consistente com o intervalo aberto encontrado. Força e foco — você já domina essa estrutura de desigualdade!

Resposta

\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)
\{x\in\mathbb{R}\mid \tfrac{1}{2}<x<\tfrac{3}{2}\}

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