Resolva as equações: (valor: 1,5 ptos)
x^{3}+3 x^{2}-49 x+45=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
x^{3} + 3x^{2} - 49x + 45 = 0
Aqui usamos o Teorema das Raízes Racionais para testar possíveis raízes inteiras (divisores de 45) e depois fatorar o polinômio.

Passo 2

Os divisores de 45 são \pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45. Testando em f(x)=x^{3}+3x^{2}-49x+45:
f(1)=1+3-49+45=0,
logo x=1 é raiz. Fazemos a divisão sintética de f(x) por (x-1):
Coeficientes: 1,\;3,\;-49,\;45
– Baixamos 1.
– Multiplicamos por 1, obtemos 1; somamos a 3, dá 4.
– Multiplicamos 4 por 1, dá 4; somamos a -49, dá -45.
– Multiplicamos -45 por 1, dá -45; somamos a 45, dá 0.
Isso reduz o polinômio a
x^{2} + 4x - 45 = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática por Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4\cdot1\cdot(-45) = 16 + 180 = 196.
Assim,
x = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2},
o que dá as raízes
x = \frac{-4 + 14}{2} = 5 \quad\text{e}\quad x = \frac{-4 - 14}{2} = -9.

Resposta

As soluções da equação são
x = 1,\;5,\;-9.

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