Resolva as inequações:
\frac{3 x-1}{-2 x+8} \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{3x - 1}{-2x + 8} \le 0.
O conteúdo aqui é inequação de fração: precisamos determinar o domínio (denominador ≠ 0), achar os zeros do numerador e do denominador (pontos críticos), e estudar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 2

Encontramos os pontos em que numerador ou denominador se anulam:
- Numerador 3x - 1 = 0 em x = \tfrac{1}{3}.
- Denominador -2x + 8 = 0 em x = 4, que não faz parte do domínio.
Logo o domínio é \mathbb{R} \setminus \{4\}.

Passo 3

Analisamos o sinal do numerador 3x - 1:
- Para x < \tfrac{1}{3}, 3x - 1 < 0.
- Em x = \tfrac{1}{3}, 3x - 1 = 0.
- Para x > \tfrac{1}{3}, 3x - 1 > 0.

Passo 4

Analisamos o sinal do denominador -2x + 8:
- Para x < 4, -2x + 8 > 0.
- Em x = 4, -2x + 8 = 0 (proibido).
- Para x > 4, -2x + 8 < 0.

Passo 5

Agora combinamos sinais para \frac{3x-1}{-2x+8}\le0, ou seja, buscamos onde a fração é negativa ou zero:
- Em (-\infty,\tfrac{1}{3}): numerador < 0 e denominador > 0 ⇒ fração < 0 (válido).
- Em x=\tfrac{1}{3}: fração = 0 (válido, pois denominador ≠ 0).
- Em (\tfrac{1}{3},4): numerador > 0 e denominador > 0 ⇒ fração > 0 (não vale).
- Em x=4: proibido.
- Em (4,\infty): numerador > 0 e denominador < 0 ⇒ fração < 0 (válido).

Resposta

\left(-\infty,\tfrac{1}{3}\right]\;\cup\;(4,\infty).

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