Resolva as equações:
3^{x+2}-3^{x+1}+3^{x-2}+3^{x-3}=1.494

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} = 1.494
Em notação brasileira, o ponto separa milhares, logo 1.494 = 1494. Vamos usar as propriedades de potências de mesma base para fatorar 3^x.

Passo 2

Extraímos o fator comum 3^x no lado esquerdo:
3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^{x-2} + 3^{x-3} =3^x\bigl(3^2 - 3^1 + 3^{-2} + 3^{-3}\bigr).

Passo 3

Calculamos o que está entre parênteses:
3^2 - 3^1 + 3^{-2} + 3^{-3} =9 - 3 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{27} =6 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{27}.
Como
\tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{27} =\tfrac{3}{27} + \tfrac{1}{27} =\tfrac{4}{27},
segue que
6 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{27} =6 + \tfrac{4}{27} =\tfrac{162}{27} + \tfrac{4}{27} =\tfrac{166}{27}.

Passo 4

Substituindo de volta na equação e igualando a 1494:
3^x \,\frac{166}{27} = 1494 \quad\Longrightarrow\quad 3^x = 1494\cdot\frac{27}{166}.
Note que 1494/166 = 9, pois 166\cdot9=1494. Logo
3^x = 9 \times 27 = 243.

Passo 5

Reconhecemos 243 = 3^5. Portanto
3^x = 3^5 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Resposta

x = 5

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