Utilize o teste da raiz, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=2^infty(2 nn+1)^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o teste da raiz para descobrir se a série sumn=2^infty(2nn+1)^n converge ou diverge. O tema aqui é teste da raiz dentro do tópico de séries infinitas. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite da raiz enésima dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste serve pra determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo an da nossa série. Na série dada, temos:
an = (2nn+1)^n
Então, vamos calcular a raiz enésima de an:
raiz[n]an = raiz[n](2nn+1)^n = 2nn+1

Passo 4

Precisamos calcular o limite de 2nn+1 quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2nn+1
Podemos dividir o numerador e o denominador por n:
L = limn to infty 21 + 1n = 21 + 0 = 2

Passo 5

Agora, aplicamos o resultado no teste da raiz. Como L = 2 e 2 > 1, de acordo com o teste, a série diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty(2nn+1)^n diverge.

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