Utilize o teste da raiz, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o teste da raiz para descobrir se a série
converge ou diverge. O tema aqui é teste da raiz dentro do tópico de séries infinitas. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite da raiz enésima dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste serve pra determinar a convergência ou divergência de séries infinitas. A ideia é calcular o limite:
Onde
é o termo geral da série. Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo
da nossa série. Na série dada, temos:
Então, vamos calcular a raiz enésima de
:
Passo 4
Precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora, aplicamos o resultado no teste da raiz. Como
e
, de acordo com o teste, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.