Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{aligned} 3 x-y+2 z & =3 \\\ x+2 y+z & =1 \\\\ 6 x+5 y+5 z & =6\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema linear abaixo: (i) resolver por escalonamento (isto é, encontrar todas as soluções) e (ii) classificar o sistema como SPD (sistema possível determinado), SPI (sistema possível indeterminado) ou SI (sistema impossível). O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} 3x - y + 2z &= 3,\\[4pt] x + 2y + z &= 1,\\[4pt] 6x + 5y + 5z &= 6. \end{aligned}\right.
Informações dadas (explicitando cada equação):
  • Equação 1: \;3x - y + 2z = 3.
  • Equação 2: \;x + 2y + z = 1.
  • Equação 3: \;6x + 5y + 5z = 6.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem pular etapas): o escalonamento (eliminação de Gauss) consiste em transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular por operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações preservam o conjunto de soluções. Depois, com a forma escalonada, leio as equações resultantes para obter as variáveis ou parâmetro(s). Vou escrever a matriz aumentada e fazer as operações passo a passo.
A matriz aumentada inicial (coeficientes e coluna dos termos independentes) é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & \mid & 3\\[4pt] 1 & 2 & 1 & \mid & 1\\[4pt] 6 & 5 & 5 & \mid & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Primeira operação útil: é comum escolher uma linha com pivô 1 para facilitar contas. Vou trocar a linha 1 com a linha 2 (operação R_1 \leftrightarrow R_2), ficando
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \mid & 1\\[4pt] 3 & -1 & 2 & \mid & 3\\[4pt] 6 & 5 & 5 & \mid & 6 \end{pmatrix}.
Explicação: trocar linhas apenas reordena as equações; não altera as soluções.]

Passo 4

Agora elimino x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 6R_1.
Calculemos cada uma:
Para R_2: (3,-1,2\mid3) - 3\cdot(1,2,1\mid1) = (3-3,\\\ -1-6,\\\ 2-3\mid 3-3) = (0,\\\ -7,\\\ -1\mid 0).
Para R_3: (6,5,5\mid6) - 6\cdot(1,2,1\mid1) = (6-6,\\\ 5-12,\\\ 5-6\mid 6-6) = (0,\\\ -7,\\\ -1\mid 0).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \mid & 1\\[4pt] 0 & -7 & -1 & \mid & 0\\[4pt] 0 & -7 & -1 & \mid & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora observe as linhas 2 e 3: são iguais. Posso eliminar a linha 3 subtraindo a linha 2: R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Isso dá a linha nula:
R_3 = (0, -7, -1\mid 0) - (0, -7, -1\mid 0) = (0,0,0\mid 0).
A matriz escalonada resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \mid & 1\\[4pt] 0 & -7 & -1 & \mid & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação da forma escalonada em termos de equações:
  • Da primeira linha: \;1\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z = 1, ou seja \;x + 2y + z = 1.
  • Da segunda linha: \;0\cdot x -7\cdot y -1\cdot z = 0, ou seja \;-7y - z = 0.
  • A terceira linha é \;0 = 0, que não impõe restrição adicional.
Da segunda equação isolamos z em função de y:
-7y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -7y.
Substituindo em \;x + 2y + z = 1:
x + 2y + (-7y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x - 5y = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 + 5y.

Passo 7

Como temos 3 incógnitas \;x,y,z e apenas 2 equações independentes (posto da matriz dos coeficientes é 2), sobra um grau de liberdade: podemos tomar y como parâmetro. Definindo o parâmetro \;t = y (onde \;t\in\mathbb{R}), obtemos
\begin{aligned} y &= t,\\[4pt] z &= -7t,\\[4pt] x &= 1 + 5t. \end{aligned}
Escrevendo a solução em forma vetorial:
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(1+5t,\; t,\; -7t\bigr) = \bigl(1,0,0\bigr) + t\bigl(5,1,-7\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Classificação do sistema: encontramos infinitas soluções parametrizadas por t. Relembrando a definição prática:
  • SPD: solução única (posto da matriz de coeficientes = número de incógnitas).
  • SPI: infinitas soluções (posto da matriz de coeficientes < número de incógnitas e posto da matriz aumentada igual ao posto dos coeficientes).
  • SI: nenhum solução (posto da matriz aumentada > posto dos coeficientes).
Aqui o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não nulas na forma escalonada) e o posto da matriz aumentada também é 2 (a linha nula tem parte aumentada 0 também). Como 2 < 3 e os postos são iguais, o sistema é SPI (sistema possível indeterminado) — ou seja, infinitas soluções.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=(1+5t,\;t,\;-7t),\\ t\in\mathbb{R}.
SPI

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