Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{aligned} 3 x-y+2 z & =3 \\\ x+2 y+z & =1 \\\\ 6 x+5 y+5 z & =6\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema linear abaixo: (i) resolver por escalonamento (isto é, encontrar todas as soluções) e (ii) classificar o sistema como SPD (sistema possível determinado), SPI (sistema possível indeterminado) ou SI (sistema impossível). O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} 3x - y + 2z &= 3,\\[4pt] x + 2y + z &= 1,\\[4pt] 6x + 5y + 5z &= 6. \end{aligned}\right.
Informações dadas (explicitando cada equação):
Equação 1: \;3x - y + 2z = 3.
Equação 2: \;x + 2y + z = 1.
Equação 3: \;6x + 5y + 5z = 6.]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem pular etapas): o escalonamento (eliminação de Gauss) consiste em transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular por operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra). Essas operações preservam o conjunto de soluções. Depois, com a forma escalonada, leio as equações resultantes para obter as variáveis ou parâmetro(s). Vou escrever a matriz aumentada e fazer as operações passo a passo.
A matriz aumentada inicial (coeficientes e coluna dos termos independentes) é
Primeira operação útil: é comum escolher uma linha com pivô 1 para facilitar contas. Vou trocar a linha 1 com a linha 2 (operação R_1 \leftrightarrow R_2), ficando
Interpretação da forma escalonada em termos de equações:
Da primeira linha: \;1\cdot x + 2\cdot y + 1\cdot z = 1, ou seja \;x + 2y + z = 1.
Da segunda linha: \;0\cdot x -7\cdot y -1\cdot z = 0, ou seja \;-7y - z = 0.
A terceira linha é \;0 = 0, que não impõe restrição adicional.
Da segunda equação isolamos z em função de y:
-7y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -7y.
Substituindo em \;x + 2y + z = 1:
x + 2y + (-7y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x - 5y = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 + 5y.
Passo 7
Como temos 3 incógnitas \;x,y,z e apenas 2 equações independentes (posto da matriz dos coeficientes é 2), sobra um grau de liberdade: podemos tomar y como parâmetro. Definindo o parâmetro \;t = y (onde \;t\in\mathbb{R}), obtemos
\begin{aligned} y &= t,\\[4pt] z &= -7t,\\[4pt] x &= 1 + 5t. \end{aligned}
Classificação do sistema: encontramos infinitas soluções parametrizadas por t. Relembrando a definição prática:
SPD: solução única (posto da matriz de coeficientes = número de incógnitas).
SPI: infinitas soluções (posto da matriz de coeficientes < número de incógnitas e posto da matriz aumentada igual ao posto dos coeficientes).
SI: nenhum solução (posto da matriz aumentada > posto dos coeficientes).
Aqui o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não nulas na forma escalonada) e o posto da matriz aumentada também é 2 (a linha nula tem parte aumentada 0 também). Como 2 < 3 e os postos são iguais, o sistema é SPI (sistema possível indeterminado) — ou seja, infinitas soluções.