Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{l}2 x+y+z=7 \\\\ 4 x+y-3 z=5 \\\\ 2 x+3 y+2 z=7\end{array}\right.
Resolver o sistema por escalonamento (ou seja, usar operações entre equações para obter forma triangular e depois resolver por substituição).
Classificar o sistema como SPD (sistema possível e determinado — única solução), SPI (possível e indeterminado — infinitas soluções) ou SI (impossível — nenhuma solução).
Lista dos dados relevantes:
As incógnitas são x,y,z.
As três equações lineares acima são as equações que formam o sistema.
Não há nenhuma outra informação externa.]
Passo 2
Vou traduzir o sistema para a matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; última coluna é o termo independente):
Explicando a ideia do escalonamento: usar operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas ou multiplicar por escalares não nulos) para criar zeros abaixo dos pivôs e chegar a uma forma triangular superior. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.]
Passo 3
Primeira etapa: eliminar x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Operação na linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Cálculo elemento a elemento:
Segunda etapa: eliminar a coordenada y na linha 3 usando a linha 2 como pivô (que tem coeficiente -1 na coluna y).
Escolho a operação R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 porque 2 + 2\cdot(-1)=0.
Cálculo elemento a elemento:
Interpretação da última linha: ela representa a equação -9z=-18. Resolver essa equação:
-9z = -18 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-18}{-9} = 2.
Explicação didática: ao chegar numa equação com uma única incógnita (a última), pode-se encontrar diretamente seu valor e depois substituir nas equações acima (substituição regressiva).
Passo 6
Agora usar a segunda linha para achar y. A segunda linha representa -y -5z = -9. Substituindo z=2:
Portanto a solução obtida por substituição regressiva é x=3, y=-1, z=2.
Passo 8
Classificação do sistema. Justificativa didática:
Encontrou-se uma única solução (x,y,z)=(3,-1,2).
Critério prático: se o escalonamento conduz a uma solução única (sem linhas contraditórias como 0=1 e sem variáveis livres), o sistema é SPD (possível e determinado).
Outra forma (verificação adicional): o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero (aqui \det A = 18 \neq 0), o que também garante solução única.