Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y+z=7 \\\\ 4 x+y-3 z=5 \\\\ 2 x+3 y+2 z=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+y+z=7\\[4pt] 4x+y-3z=5\\[4pt] 2x+3y+2z=7 \end{cases}
O que se pede:
  • Resolver o sistema por escalonamento (ou seja, usar operações entre equações para obter forma triangular e depois resolver por substituição).
  • Classificar o sistema como SPD (sistema possível e determinado — única solução), SPI (possível e indeterminado — infinitas soluções) ou SI (impossível — nenhuma solução).
Lista dos dados relevantes:
  • As incógnitas são x,y,z.
  • As três equações lineares acima são as equações que formam o sistema.
  • Não há nenhuma outra informação externa.]

Passo 2

Vou traduzir o sistema para a matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 4 & 1 & -3 & 5\\[4pt] 2 & 3 & 2 & 7 \end{array}\right]
Explicando a ideia do escalonamento: usar operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas ou multiplicar por escalares não nulos) para criar zeros abaixo dos pivôs e chegar a uma forma triangular superior. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.]

Passo 3

Primeira etapa: eliminar x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
  • Operação na linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Cálculo elemento a elemento:
\begin{aligned} 4-2\cdot2 &=0,\\\\ 1-2\cdot1 &=-1,\\\\ -3-2\cdot1 &=-5,\\\\ 5-2\cdot7 &=-9. \end{aligned}
Logo a nova linha 2 é [0\\\ -1\\\ -5\mid -9].
  • Operação na linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1.
    Cálculo:
\begin{aligned} 2-2 &=0,\\\\ 3-1 &=2,\\\\ 2-1 &=1,\\\\ 7-7 &=0. \end{aligned}
Logo a nova linha 3 é [0\\\ 2\\\ 1\mid 0].
A matriz ficou:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & -1 & -5 & -9\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Segunda etapa: eliminar a coordenada y na linha 3 usando a linha 2 como pivô (que tem coeficiente -1 na coluna y).
Escolho a operação R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 porque 2 + 2\cdot(-1)=0.
Cálculo elemento a elemento:
\begin{aligned} 0 + 2\cdot 0 &= 0,\\\\ 2 + 2\cdot(-1) &= 0,\\\\ 1 + 2\cdot(-5) &= 1 -10 = -9,\\\\ 0 + 2\cdot(-9) &= -18. \end{aligned}
A linha 3 torna-se [0\\\ 0\\\ -9 \mid -18].
Agora a matriz está em forma escalonada (triangular superior):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & -1 & -5 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -9 & -18 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretação da última linha: ela representa a equação -9z=-18. Resolver essa equação:
-9z = -18 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-18}{-9} = 2.
Explicação didática: ao chegar numa equação com uma única incógnita (a última), pode-se encontrar diretamente seu valor e depois substituir nas equações acima (substituição regressiva).

Passo 6

Agora usar a segunda linha para achar y. A segunda linha representa -y -5z = -9. Substituindo z=2:
-y -5\cdot 2 = -9 \quad\Rightarrow\quad -y -10 = -9 \quad\Rightarrow\quad -y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Explanação: isolou-se y realizando operações aritméticas simples; lembrar de manter o sinal correto ao dividir por -1.

Passo 7

Usar a primeira linha para achar x. A primeira equação é 2x+y+z=7. Substituindo y=-1 e z=2:
2x + (-1) + 2 = 7 \quad\Rightarrow\quad 2x +1 = 7 \quad\Rightarrow\quad 2x = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 3.
Portanto a solução obtida por substituição regressiva é x=3, y=-1, z=2.

Passo 8

Classificação do sistema. Justificativa didática:
  • Encontrou-se uma única solução (x,y,z)=(3,-1,2).
  • Critério prático: se o escalonamento conduz a uma solução única (sem linhas contraditórias como 0=1 e sem variáveis livres), o sistema é SPD (possível e determinado).
  • Outra forma (verificação adicional): o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero (aqui \det A = 18 \neq 0), o que também garante solução única.
Conclusão: o sistema é SPD.

Resposta

(x,y,z)=(3,-1,2)
SPD

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