Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y-4 z=11 \\\\ 2 x+3 y-2 z=8 \\\\ 7 x+2 y-5 z=11\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear a seguir e pede duas coisas: resolver por escalonamento (Gaussian elimination) e classificar o sistema como SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l} 3x+4y-4z=11\\[4pt] 2x+3y-2z=8\\[4pt] 7x+2y-5z=11 \end{array}\right.
Informações que temos:
  • Três equações com três incógnitas x,y,z.
  • Pedidos: (1) encontrar todos os valores de x,y,z que satisfazem as equações; (2) determinar se o sistema é SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).]

Passo 2

Antes de começar a manipular, uma pequena explicação didática sobre o método que vamos usar (escalonamento) — é importante entender para repetir isso na prova:
  • Escalonamento (eliminação de Gauss) transforma o sistema num equivalente triangular superior, usando operações elementares sobre as equações:
    1. trocar duas equações entre si;
    2. multiplicar uma equação por um número não nulo;
    3. somar a uma equação um múltiplo de outra.
  • O objetivo é obter uma equação onde só aparece uma incógnita (terceira linha com só z), depois usar substituição regressiva (back-substitution).
  • A classificação SPD/SPI/SI:
    • SPD: existe exatamente uma solução (normalmente ocorre se houver pivôs não nulos em todas as colunas das incógnitas).
    • SPI: existem infinitas soluções (algumas colunas sem pivô, mas sem contradição).
    • SI: nenhuma solução (aparece uma linha contraditória, tipo 0=1).
Agora vamos ao escalonamento passo a passo.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: coeficientes de x,y,z e coluna dos termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -4 & 11\\[4pt] 2 & 3 & -2 & 8\\[4pt] 7 & 2 & -5 & 11 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação da primeira coluna (queremos zerar as entradas abaixo do primeiro pivô 3 na coluna de x).
Vou usar operações do tipo R_i \leftarrow R_i - \lambda R_1.
Calcule R_2' = R_2 - \dfrac{2}{3}R_1. Fazendo componente a componente:
  • coluna x: 2 - \dfrac{2}{3}\cdot 3 = 0.
  • coluna y: 3 - \dfrac{2}{3}\cdot 4 = 3 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{9-8}{3} = \dfrac{1}{3}.
  • coluna z: -2 - \dfrac{2}{3}\cdot(-4) = -2 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{-6+8}{3} = \dfrac{2}{3}.
  • termo independente: 8 - \dfrac{2}{3}\cdot 11 = 8 - \dfrac{22}{3} = \dfrac{24-22}{3} = \dfrac{2}{3}.
Logo R_2' = \left[0,\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\mid \dfrac{2}{3}\right].
Calcule R_3' = R_3 - \dfrac{7}{3}R_1. Componentes:
  • coluna x: 7 - \dfrac{7}{3}\cdot 3 = 0.
  • coluna y: 2 - \dfrac{7}{3}\cdot 4 = 2 - \dfrac{28}{3} = \dfrac{6-28}{3} = -\dfrac{22}{3}.
  • coluna z: -5 - \dfrac{7}{3}\cdot(-4) = -5 + \dfrac{28}{3} = \dfrac{-15+28}{3} = \dfrac{13}{3}.
  • termo independente: 11 - \dfrac{7}{3}\cdot 11 = 11 - \dfrac{77}{3} = \dfrac{33-77}{3} = -\dfrac{44}{3}.
Logo R_3' = \left[0,-\dfrac{22}{3},\dfrac{13}{3}\mid -\dfrac{44}{3}\right].
A matriz fica (após essas operações):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -4 & 11\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3}\\[6pt] 0 & -\dfrac{22}{3} & \dfrac{13}{3} & -\dfrac{44}{3} \end{array}\right]]

Passo 5

Para simplificar a leitura e os cálculos, multiplico a segunda linha por 3 (operação permitida) e a terceira linha também por 3 para eliminar denominadores. Assim obtemos uma matriz equivalente com inteiros:
Multiplicar R_2 por 3: R_2 \leftarrow 3R_2 = [0,1,2 \mid 2].
Multiplicar R_3 por 3: R_3 \leftarrow 3R_3 = [0,-22,13 \mid -44].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -4 & 11\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -22 & 13 & -44 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminação da segunda coluna: queremos zerar a entrada -22 em R_3 usando o pivô 1 em R_2.
Faço R_3 \leftarrow R_3 + 22 R_2. Cálculo componente a componente:
  • coluna y: -22 + 22\cdot 1 = 0.
  • coluna z: 13 + 22\cdot 2 = 13 + 44 = 57.
  • termo independente: -44 + 22\cdot 2 = -44 + 44 = 0.
Então R_3 se torna [0,0,57 \mid 0].
A matriz escalonada (triangular superior) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -4 & 11\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 57 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora resolvemos por substituição regressiva (back-substitution). A matriz corresponde ao sistema triangular:
\begin{cases} 3x + 4y - 4z = 11,\\[4pt] y + 2z = 2,\\[4pt] 57z = 0. \end{cases}
Da terceira equação, obtemos imediatamente:
57z=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Substituindo z=0 na segunda equação:
y + 2\cdot 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Substituindo y=2 e z=0 na primeira equação:
3x + 4\cdot 2 - 4\cdot 0 = 11 \quad\Rightarrow\quad 3x + 8 = 11 \quad\Rightarrow\quad 3x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Assim a solução é x=1,\; y=2,\; z=0.]

Passo 8

Classificação do sistema: obtivemos um pivô não nulo em cada uma das três colunas de incógnitas (escalonamento levou a uma linha com coeficiente 57 para z, não a uma linha nula contraditória). Não houve contradição do tipo 0= número não nulo, e o sistema tem exatamente uma solução encontrada. Portanto o sistema é SPD (sistema possível e determinado).

Resposta

(x,y,z)=(1,2,0)
SPD

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