Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{l}3 x+4 y-4 z=11 \\\\ 2 x+3 y-2 z=8 \\\\ 7 x+2 y-5 z=11\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear a seguir e pede duas coisas: resolver por escalonamento (Gaussian elimination) e classificar o sistema como SPD, SPI ou SI.
Pedidos: (1) encontrar todos os valores de x,y,z que satisfazem as equações; (2) determinar se o sistema é SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).]
Passo 2
Antes de começar a manipular, uma pequena explicação didática sobre o método que vamos usar (escalonamento) — é importante entender para repetir isso na prova:
Escalonamento (eliminação de Gauss) transforma o sistema num equivalente triangular superior, usando operações elementares sobre as equações:
trocar duas equações entre si;
multiplicar uma equação por um número não nulo;
somar a uma equação um múltiplo de outra.
O objetivo é obter uma equação onde só aparece uma incógnita (terceira linha com só z), depois usar substituição regressiva (back-substitution).
A classificação SPD/SPI/SI:
SPD: existe exatamente uma solução (normalmente ocorre se houver pivôs não nulos em todas as colunas das incógnitas).
SPI: existem infinitas soluções (algumas colunas sem pivô, mas sem contradição).
SI: nenhuma solução (aparece uma linha contraditória, tipo 0=1).
Agora vamos ao escalonamento passo a passo.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: coeficientes de x,y,z e coluna dos termos independentes):
Para simplificar a leitura e os cálculos, multiplico a segunda linha por 3 (operação permitida) e a terceira linha também por 3 para eliminar denominadores. Assim obtemos uma matriz equivalente com inteiros:
Classificação do sistema: obtivemos um pivô não nulo em cada uma das três colunas de incógnitas (escalonamento levou a uma linha com coeficiente 57 para z, não a uma linha nula contraditória). Não houve contradição do tipo 0= número não nulo, e o sistema tem exatamente uma solução encontrada. Portanto o sistema é SPD (sistema possível e determinado).