Resolva:
\lim _{z \rightarrow 1+i}\left(z^{2}-2 z+3\right).

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular \displaystyle \lim_{z\to 1+i}\bigl(z^{2}-2z+3\bigr).
Informações dadas e objetivo:
  • A variável é z, que é complexa, e queremos o limite quando z tende a 1+i.
  • A função cujo limite queremos é um polinômio em z: z^{2}-2z+3.
  • A pergunta é apenas o valor desse limite.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): polinômios complexos são funções contínuas em todo \mathbb{C}. Isso significa que, para uma função f polinomial, vale
\lim_{z\to a} f(z) = f(a)
para qualquer ponto a\in\mathbb{C}. Por que isso é verdade? Porque a função identidade z\mapsto z é contínua, as operações soma e produto preservam continuidade, e um polinômio é formado por somas e produtos de z e constantes. Em termos práticos: para calcular o limite, basta substituir z pelo ponto onde z tende.

Passo 3

Aplicando a propriedade de continuidade ao nosso caso: podemos avaliar o limite simplesmente substituindo z=1+i em z^{2}-2z+3. Ou seja,
\lim_{z\to 1+i}\bigl(z^{2}-2z+3\bigr)=\bigl(1+i\bigr)^{2}-2\bigl(1+i\bigr)+3.

Passo 4

Agora faço a conta passo a passo, explicando cada suboperação:
Calcular \bigl(1+i\bigr)^{2}. Expandindo:
\bigl(1+i\bigr)^{2}=1+2i+i^{2}.
Lembrando que i^{2}=-1, então
1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.

Passo 5

Substituo o resultado na expressão inteira:
\bigl(1+i\bigr)^{2}-2\bigl(1+i\bigr)+3 = 2i -2(1+i)+3.
Distribuindo o -2:
2i -2 -2i +3.
Agora somo as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
  • Partes imaginárias: 2i-2i=0.
  • Partes reais: -2+3=1.
    Portanto a soma é 1+0i, ou simplesmente 1.

Passo 6

Comentário final e reforço: assim, usando a continuidade do polinômio (substituição direta) e fazendo as contas algébricas com cuidado, obtemos o valor do limite. Se preferir, em provas é suficiente justificar que polinômios são contínuos e então fazer a substituição direta.

Resposta

\,1\,

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