Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- A variável é
, que é complexa, e queremos o limite quando tende a . - A função cujo limite queremos é um polinômio em
: . - A pergunta é apenas o valor desse limite.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): polinômios complexos são funções contínuas em todo
. Isso significa que, para uma função
polinomial, vale
para qualquer ponto
. Por que isso é verdade? Porque a função identidade
é contínua, as operações soma e produto preservam continuidade, e um polinômio é formado por somas e produtos de
e constantes. Em termos práticos: para calcular o limite, basta substituir
pelo ponto onde
tende.
Passo 3
Aplicando a propriedade de continuidade ao nosso caso: podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
em
. Ou seja,
Passo 4
Agora faço a conta passo a passo, explicando cada suboperação:
Calcular . Expandindo:
Calcular
Lembrando que
, então
Passo 5
Substituo o resultado na expressão inteira:
Distribuindo o
:
Agora somo as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
- Partes imaginárias:
. - Partes reais:
.
Portanto a soma é, ou simplesmente .
Passo 6
Comentário final e reforço: assim, usando a continuidade do polinômio (substituição direta) e fazendo as contas algébricas com cuidado, obtemos o valor do limite. Se preferir, em provas é suficiente justificar que polinômios são contínuos e então fazer a substituição direta.