Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
Beleza, primeiramente vamos entender o que o exercício pede. Temos três vetores no espaço tridimensional:
O assunto aqui é produto vetorial e produto misto.
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores e .
O produto misto é um número que representa o volume do paralelepípedo formado por .
Regra prática: se esse volume for zero, os vetores são coplanares; se não for zero, não são coplanares.
Passo 2
Vamos calcular o produto vetorial . Pela definição de determinante:
Agora simplificando cada componente:
Componente em i: (-1)cdot4 - 1cdot0 = -4.
Componente em j: (-1)cdot4 - 1cdot1 = -4 - 1 = -5, mas há o sinal “-” do termo, então fica +5.
Componente em k: (-1)cdot0 - (-1)cdot1 = 0 + 1 = 1.
Logo
vec Vtimesvec W = (-4,,5,,1)
Passo 3
Agora fazemos o produto misto vec Ucdot(vec Vtimesvec W). Lembra que isso dá o volume algébrico do paralelepípedo: