Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(0,-1,2), V=(-1,-1,1), W=
(1,0,4)

Passo 1

Beleza, primeiramente vamos entender o que o exercício pede. Temos três vetores no espaço tridimensional:
vec U = (0,-1,2), vec V = (-1,-1,1), vec W = (1,0,4)
O assunto aqui é produto vetorial e produto misto.
  • O produto vetorial vec Vtimesvec W nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores vec V e vec W.
  • O produto misto vec Ucdot(vec Vtimesvec W) é um número que representa o volume do paralelepípedo formado por vec U,vec V,vec W.
    Regra prática: se esse volume for zero, os vetores são coplanares; se não for zero, não são coplanares.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial vec Vtimesvec W. Pela definição de determinante:
vec Vtimesvec W ;=; i & j & k -1 & -1 & 1 1 & 0 & 4 ;=; il((-1)cdot4 - 1cdot0r) - jl((-1)cdot4 - 1cdot1r) + kl((-1)cdot0 - (-1)cdot1r)
Agora simplificando cada componente:
  • Componente em i: (-1)cdot4 - 1cdot0 = -4.
  • Componente em j: (-1)cdot4 - 1cdot1 = -4 - 1 = -5, mas há o sinal “-” do termo, então fica +5.
  • Componente em k: (-1)cdot0 - (-1)cdot1 = 0 + 1 = 1.
    Logo
vec Vtimesvec W = (-4,,5,,1)

Passo 3

Agora fazemos o produto misto vec Ucdot(vec Vtimesvec W). Lembra que isso dá o volume algébrico do paralelepípedo:
vec Ucdot(vec Vtimesvec W) = (0,-1,2);cdot;(-4,5,1) = 0cdot(-4) + (-1)cdot5 + 2cdot1 = 0 - 5 + 2 = -3
Como o resultado deu -3, que é diferente de zero, concluímos que o volume é não nulo.

Resposta

Os vetores não são coplanares, porque o produto misto vec Ucdot(vec Vtimesvec W) = -3 neq 0.

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