Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(0,3,1), V=(1,0,-1), W=(1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se os vetores
vec U=(0,3,1), vec V=(1,0,-1) e vec W=(1,1,0) são coplanares.
Conteúdo envolvido: produto vetorial e produto misto (ou triplo escalar).
O que vamos precisar:
  1. Saber que três vetores são coplanares se o produto misto vec Ucdot(vec Vtimesvec W) for zero.
  2. Calcular o produto vetorial vec Vtimesvec W.
  3. Fazer o produto escalar de vec U com o resultado e ver se dá zero ou não.

Passo 2

Definição e estratégia:
Produto misto = vec Ucdot(vec Vtimesvec W).
  • Se der 0 → vetores coplanares.
  • Se der diferente de 0 → não são coplanares.
    Primeiro, vamos calcular vec Vtimesvec W.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial vec Vtimesvec W usando determinante:
vec Vtimesvec W = i & j & k 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 = i(0cdot0-(-1)cdot1);-;j(1cdot0-(-1)cdot1);+;k(1cdot1-0cdot1)
vec Vtimesvec W = i(1);-;j(1);+;k(1) = (1,,-1,,1)

Passo 4

Agora o produto misto:
vec Ucdot(vec Vtimesvec W) = (0,3,1);cdot;(1,-1,1) =0cdot1 + 3cdot(-1) + 1cdot1 =-3 + 1 =-2
Como -2neq0, o produto misto não zera, então os vetores não estão todos no mesmo plano.

Resposta

Os vetores vec U, vec V e vec W não são coplanares.

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