Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Encontre o produto misto (V times W) "" U para os vetores dados:
U=(3,1,-1), V=(1,1,2), W=
(-1,4,3)

Passo 1

O enunciado pede o produto misto
(vec V times vec W) cdot vec U
para os vetores
vec U = (3,1,-1), vec V = (1,1,2) e vec W = (-1,4,3).
Conteúdo: definição de produto vetorial e dot-product.

Passo 2

Pela definição, o produto misto é dado por
(vec Vtimesvec W)cdotvec U
ou equivalentemente pelo determinante
det 1 & 1 & 2 -1 & 4 & 3 3 & 1 & -1

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial vec Vtimesvec W usando o determinante com os versores i, j, k:
vec Vtimesvec W = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 4 & 3 =l((1)(3)-(2)(4),,-l((1)(3)-(2)(-1)r),,(1)(4)-(1)(-1)r)
Portanto
vec Vtimesvec W =(-5,,-5,,5)

Passo 4

Agora fazemos o dot-product com vec U:
(vec V times vec W) cdot vec U = (-5,,-5,,5) cdot (3,,1,,-1) = (-5) cdot 3 + (-5) cdot 1 + 5 cdot (-1) = -15 - 5 - 5 = -25

Resposta

O valor do produto misto é -25.

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