Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Encontre o produto misto (V times W) "" U para os vetores dados:
U=(-6,0,-1), V=(1,1,1), W=
(1,-4,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto (VtimesW)cdotU dos vetores
U=(-6,0,-1), V=(1,1,1) e W=(1,-4,2).
O conteúdo aqui envolve a definição de produto vetorial em R^3 e em seguida o produto escalar com o terceiro vetor.

Passo 2

Lembrando que, para V=(v1,v2,v3) e W=(w1,w2,w3),
o produto vetorial VtimesW é o vetor cujas componentes são dadas por
VtimesW = l(v2w3 - v3w2,;v3w1 - v1w3,;v1w2 - v2w1r)

Passo 3

Aplicando essa fórmula a V=(1,1,1) e W=(1,-4,2):
v2w3 - v3w2 = 1cdot2 - 1cdot(-4) = 2 + 4 = 6,
v3w1 - v1w3 = 1cdot1 - 1cdot2 = 1 - 2 = -1,
v1w2 - v2w1 = 1cdot(-4) - 1cdot1 = -4 -1 = -5
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VtimesW = (6,,-1,,-5)

Passo 4

O produto misto é então o produto escalar entre VtimesW e U. Para A=(a1,a2,a3) e B=(b1,b2,b3), tem‐se
AcdotB = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aqui A=VtimesW=(6,-1,-5) e B=U=(-6,0,-1), então
(6,-1,-5)cdot(-6,0,-1) =6cdot(-6)+(-1)cdot0+(-5)cdot(-1) =-36+0+5=-31

Passo 5

Como verificação alternativa, podemos usar que o produto misto também é o determinante
(VtimesW)cdotU =det 1 & 1 & 1 1 & -4 & 2 -6 & 0 & -1 ,
cujo valor, ao expandir na primeira linha, dá igualmente -31.

Resposta

-31

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