Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(1,1,-14), V=(0,2, 12), W=
(2,0,-1)

Passo 1

Beleza, o enunciado manda ver se os vetores
vec U=(1,1,-tfrac14),
vec V=(0,2,tfrac12) e
vec W=(2,0,-1)
são coplanares e, caso sejam, escrever um deles como combinação linear dos outros dois.
Matéria envolvida: produto vetorial e produto misto (que é o produto escalar do produto vetorial de dois vetores com o terceiro, ou equivalentemente o determinante).
O que vamos usar:
  • Definição de produto vetorial vec utimesvec v;
  • Definição de produto escalar vec acdotvec b;
  • Propriedade de que vetores em R^3 são coplanares se e somente se (vec Utimesvec V)cdotvec W=0.

Passo 2

A gente começa checando o produto misto
(vec Utimesvec V)cdotvec W
  1. Primeiro, produto vetorial:
    Se vec u=(u1,u2,u3) e vec v=(v1,v2,v3),
vec utimesvec v =(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1)
No nosso caso,
vec Utimesvec V =l(1cdottfrac12 - (-tfrac14)cdot2,;(-tfrac14)cdot0 - 1cdottfrac12,;1cdot2 - 1cdot0r) =(tfrac12 + tfrac12,,-tfrac12,,2) =(1,,-tfrac12,,2)
  1. Agora o produto escalar com vec W=(2,0,-1):
(1,,-tfrac12,,2)cdot(2,0,-1) =1cdot2 + (-tfrac12)cdot0 + 2cdot(-1) =2 + 0 -2 =0
Como deu zero, confirmamos que vec U,vec V,vec W são coplanares.

Passo 3

Pra escrever um vetor como combinação linear, escolhemos vec W e procuramos a,b tais que
vec W = a,vec U + b,vec V
Isso vira o sistema coordenada a coordenada:
  1. acdot1 + bcdot0 = 2 implies a = 2
  2. acdot1 + bcdot2 = 0 implies 2 + 2b = 0 implies b = -1
  3. Checar na terceira:
al(-tfrac14r) + bcdottfrac12 =2l(-tfrac14r) + (-1)cdottfrac12 =-tfrac12 - tfrac12 =-1,
que bate com a terceira coordenada de vec W. Logo está tudo certo.

Resposta

Os vetores são coplanares e
boxedvec W = 2,vec U - vec V

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