Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda ver se os vetores
,
e
são coplanares e, caso sejam, escrever um deles como combinação linear dos outros dois.
Matéria envolvida: produto vetorial e produto misto (que é o produto escalar do produto vetorial de dois vetores com o terceiro, ou equivalentemente o determinante).
O que vamos usar:
são coplanares e, caso sejam, escrever um deles como combinação linear dos outros dois.
Matéria envolvida: produto vetorial e produto misto (que é o produto escalar do produto vetorial de dois vetores com o terceiro, ou equivalentemente o determinante).
O que vamos usar:
- Definição de produto vetorial
; - Definição de produto escalar
; - Propriedade de que vetores em
são coplanares se e somente se .
Passo 2
A gente começa checando o produto misto
- Primeiro, produto vetorial:
See ,
No nosso caso,
- Agora o produto escalar com
:
Como deu zero, confirmamos que
são coplanares.
Passo 3
Pra escrever um vetor como combinação linear, escolhemos
e procuramos
tais que
Isso vira o sistema coordenada a coordenada:
-
-
- Checar na terceira:
que bate com a terceira coordenada de
. Logo está tudo certo.
Resposta
Os vetores são coplanares e