Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n, respectivamente. Considere o espaço vetorial U times V cuja adição e multiplicação por escalares são dadas por:
+:(u1, v1)+(u2, v2)=(u1+u2, v1+v2) e : beta(u, v)=(beta u, beta v)
Supondo que U=u1, u2, ldots, un e V=v1, v2, ldots, vn são bases de U e de V, respectivamente, prove que
B=(u1, 0),(u2, 0),(u3, 0), ldots,(un, 0),(0, v1),(0, v1), ldots,(0, v1)
é uma base de U times V.

Passo 1

O enunciado define o produto cartesiano Utimes V de dois espaços vetoriais reais U e V de dimensões m e n, respectivamente, com as operações
(u1,v1)+(u2,v2)=(u1+u2,;v1+v2), beta,(u,v)=(beta u,;beta v)
Temos bases U=u1,dots,um de U e V=v1,dots,vn de V, e queremos mostrar que
B =(u1,0),dots,(um,0),(0,v1),dots,(0,vn)
é base de Utimes V. Para isso, basta provar que B (i) gera Utimes V e (ii) é linearmente independente.

Passo 2

Seja (u,v)in Utimes V. Como U e V são bases, existem escalares a1,dots,am e b1,dots,bn tais que
u=sumi=1^m ai,ui, v=sumj=1^n bj,vj
Então, usando as operações em Utimes V,
(u,v) =l(sumi=1^m ai,ui,;sumj=1^n bj,vjr) =sumi=1^m ai,(ui,0) ;+;sumj=1^n bj,(0,vj)
Logo B gera todo par (u,v), ou seja, span( B)=Utimes V.

Passo 3

Considere uma combinação linear nula de elementos de B:
sumi=1^m alphai,(ui,0) ;+;sumj=1^n betaj,(0,vj) =(0,0)
Pela definição da soma em Utimes V, isso equivale a
l(sumi=1^m alphai,ui,;sumj=1^n betaj,vjr) =(0,0),
o que dá o sistema
sumi=1^m alphai,ui=0em U, sumj=1^n betaj,vj=0em V
Como U e V são bases (logo são conjuntos linearmente independentes), segue que alphai=0 para todo i e betaj=0 para todo j. Assim B é linearmente independente.

Passo 4

Como mostramos que B gera Utimes V e é linearmente independente, concluímos que B é base de Utimes V. Além disso, B tem m+n elementos, de modo que
dim(Utimes V)=m+n

Resposta

B é uma base de Utimes V (e, consequentemente, dim(Utimes V)=m+n).

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