Sejam
e
espaços vetoriais sobre
de dimensões
e
, respectivamente. Considere o espaço vetorial
cuja adição e multiplicação por escalares são dadas por:
Supondo que
e
são bases de
e de
, respectivamente, prove que
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado define o produto cartesiano
de dois espaços vetoriais reais
e
de dimensões
e
, respectivamente, com as operações
Temos bases
de
e
de
, e queremos mostrar que
é base de
. Para isso, basta provar que
(i) gera
e (ii) é linearmente independente.
Passo 2
Seja
. Como
e
são bases, existem escalares
e
tais que
Então, usando as operações em
,
Logo
gera todo par
, ou seja,
.
Passo 3
Considere uma combinação linear nula de elementos de
:
Pela definição da soma em
, isso equivale a
o que dá o sistema
Como
e
são bases (logo são conjuntos linearmente independentes), segue que
para todo
e
para todo
. Assim
é linearmente independente.
Passo 4
Como mostramos que
gera
e é linearmente independente, concluímos que
é base de
. Além disso,
tem
elementos, de modo que