Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
d yd x+e^x y1+e^x=0

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação diferencial de primeira ordem dydx + e^x1+e^x,y = 0. O conteúdo principal aqui é separação de variáveis, então vamos isolar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 2

Começando por reescrever e isolar as variáveis, passamos o termo com y para o lado direito e dividimos por y:
dydx = -e^x1+e^x,y
Em seguida colocamos dy e dx com seus fatores correspondentes:
1y,dy = -e^x1+e^x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo é direto e no direito usamos a substituição u = 1 + e^x, logo du = e^x,dx:
integral 1y,dy = -integral e^x1+e^x,dx
ln|y| = -integral 1u,du = -ln|u| + C = -ln|1+e^x| + C

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponenciação em ambos os lados:
|y| = e^,-ln(1+e^x) + C = e^C,(1+e^x)^-1
Renomeando e^C como constante arbitrária K e retirando o valor absoluto (já absorvido em K), ficamos com a solução geral:
y = K1+e^x

Resposta

y = dfracC1+e^x

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