Resolva as expressões algébricas abaixo utilizando as técnicas de fatoração: fator comum, agrupamento, trinômio quadrado perfeito e diferença de dois quadrados. Identifique o método mais adequado para cada caso.
Fatore: x^{3}+2 x^{2}+3 x+6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^{3} + 2x^{2} + 3x + 6
usando técnicas de fatoração (fator comum, agrupamento, etc.). Aqui o método mais adequado é o agrupamento de termos.

Passo 2

Observando o polinômio, podemos agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos termos, pois eles têm fatores comuns distintos.

Passo 3

Aplicando o agrupamento:
x^{3} + 2x^{2} + 3x + 6 = (x^{3} + 2x^{2}) + (3x + 6)
Agora fatoramos em cada grupo o máximo comum:
x^{3} + 2x^{2} = x^{2}(x + 2), \quad 3x + 6 = 3\,(x + 2)
Portanto,
x^{3} + 2x^{2} + 3x + 6 = x^{2}(x+2) + 3(x+2).

Passo 4

Extraindo o fator comum (x+2) das duas parcelas, obtemos
x^{2}(x+2) + 3(x+2) = (x+2)\,(x^{2} + 3).

Resposta

(x+2)(x^{2}+3)

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