Resolva, pela forma escada, os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=1 \\\\ 2 x+3 y+z=4 \\\ x+y+z=3 \end{array}\right.

Passo 1

Nós temos o sistema
\begin{cases} x + 2y - z = 1,\\\\ 2x + 3y + z = 4,\\\ x + y + z = 3 \end{cases}
e vamos usar o método da forma escada (eliminação de Gauss). A ideia é montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para obter uma matriz triangular superior.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
O primeiro pivô é o elemento na posição (1,1), que já vale \,1.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo desse pivô na coluna 1:
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 3 & 2\\\\ 0 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right].

Passo 4

O segundo pivô é agora o elemento na posição (2,2), que vale -1. Zeramos a entrada abaixo dele na coluna 2:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right].
Agora a matriz está em forma escada.

Passo 5

Fazemos a retro-substituição. Da terceira linha:
-1\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = 0.
Da segunda linha:
-1\cdot y + 3\cdot z = 2 \quad\Longrightarrow\quad - y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -2.
Da primeira linha:
x + 2y - z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + 2(-2) - 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 4 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Resposta

x = 5,\;y = -2,\;z = 0.

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