Resolva, pela forma escada, os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\\\ 2 x+3 y+z=5 \\\\ 3 x+4 y+2 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 2,\\\\ 2x + 3y + z = 5,\\\\ 3x + 4y + 2z = 7, \end{cases}
e pede para resolvê-lo pela forma escada (eliminação de Gauss). Para isso vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares até obter uma forma triangular (escada) e então resolver por retro-substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada referente ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 3 & 4 & 2 & 7 \end{array}\right].
Agora eliminamos o coeficiente de x na segunda e na terceira linhas, subtraindo-se 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes a primeira linha da terceira. Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Para progredir, eliminamos o coeficiente de y na terceira linha, subtraindo-se a segunda linha da terceira. Obtém-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora temos a forma escada: pivôs em posição (1,1) e (2,2), e a terceira linha é toda zero.

Passo 4

Da forma escada interpretamos o sistema equivalente:
\begin{cases} x + y + z = 2,\\\ y - z = 1,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Como a terceira equação é trivially verdadeira, temos uma variável livre. Denotemos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Da segunda equação segue
y = 1 + z = 1 + t.
Finalmente, da primeira equação
x = 2 - y - z = 2 - (1+t) - t = 1 - 2t.

Resposta

A solução geral do sistema é
(x,y,z) = \bigl(1 - 2t,\;1 + t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

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