Transforme em forma escada as matrizes:
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\\ 2 & 4 & 0 & 1 \\\ 3 & 6 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 4 & 0 & 1\\\\ 3 & 6 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para colocá-la em forma escada. O conteúdo envolvido é a eliminação de Gauss, que consiste em usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de linhas) para obter zeros abaixo de cada pivô.

Passo 2

Tomamos como pivô o elemento \,a_{11}=1 na primeira linha. Para zerar os elementos abaixo na coluna 1 fazemos
\mathrm{L}_2 \leftarrow \mathrm{L}_2 - 2\,\mathrm{L}_1, \quad \mathrm{L}_3 \leftarrow \mathrm{L}_3 - 3\,\mathrm{L}_1.
Isso transforma a matriz em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na segunda linha, o primeiro elemento não nulo aparece na coluna 3 e vale -2. Esse é o novo pivô. Para zerar o termo abaixo, fazemos
\mathrm{L}_3 \leftarrow \mathrm{L}_3 - \mathrm{L}_2,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para padronizar a forma escada, podemos escalar a segunda linha por -\tfrac12 de modo a deixar o pivô igual a 1:
\mathrm{L}_2 \leftarrow -\tfrac12\,\mathrm{L}_2.
Assim a matriz final em forma escada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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