Use a redução para a forma escada para determinar o posto da matriz:
\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 4 & 6 & 8 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (ou posto máximo) da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[6pt] 2 & 4 & 6 & 8 \\[6pt] 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando redução a forma escada. Vamos aplicar operações elementares por linhas para identificar quantas linhas não nulas ficam no escalonamento.]

Passo 2

Começamos zerando as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Para isso:
– substituímos a segunda linha por L_2 - 2L_1,
– substituímos a terceira linha por L_3 - L_1.
Em bloco:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 2 & 4 & 6 & 8 \\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\substack{L_2\leftarrow L_2-2L_1\L_3\leftarrow L_3-L_1}}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}]

Passo 3

Agora temos a linha zero em L_2. Para seguir o escalonamento, trocamos L_2 com L_3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_2\leftrightarrow L_3}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 4

Para obter o pivô da segunda linha igual a 1, multiplicamos L_2 por -1:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_2\leftarrow -\,L_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Agora a forma escada está pronta, com duas linhas não nulas.]

Resposta

O posto da matriz é 2.

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